一种反射式光纤位移传感器可以实现微小位移测量，其部分原理简…——2023 高考物理第 16 题答案解析

【答案】（1） $\sin \theta = { \sqrt { n ^ { 2 } - 1 } }$ ；② $\frac { d } { 2 } \sqrt { \frac { 2 - n ^ { 2 } } { n ^ { 2 } - 1 } } < b < \frac { d + 2 a } { 2 } \sqrt { \frac { 2 - n ^ { 2 } } { n ^ { 2 } - 1 } }$

【解析】

【详解】（1）由题意可知当光在两侧刚好发生全反射时从M 下端面出射的光与竖直方向夹角最大，设光在M 下端与竖直方向的偏角为 ${ \mathfrak { a } } ,$ ，此时

$$ \sin C = \frac {1}{n} = \cos \alpha $$

可得

$$ \sin \alpha = \sqrt {1 - \frac {1}{n ^ {2}}} $$

又因为

$$ n = \frac{\sin\theta}{\sin\alpha} $$

所以

$$ \sin \theta = n \sin \alpha = \sqrt {n ^ {2} - 1} $$

（2）根据题意要使N 下端面从刚能接收反射激光到恰好全部被照亮，光路图如图所示

则玻璃丝下端面到被测物体距离b的相应范围应该为

$$ b _ {1} < b < b _ {2} $$

当距离最近时有

$$ \tan \theta = \frac {\frac {d}{2}}{b _ {1}} $$

当距离最远时有

$$ \tan \theta = \frac {\frac {d + 2 a}{2}}{b _ {2}} $$

根据（1）可知

$$ \tan \theta = \frac {\sqrt {n ^ {2} - 1}}{\sqrt {2 - n ^ {2}}} $$

联立可得

$$ b _ {1} = \frac {d}{2} \sqrt {\frac {2 - n ^ {2}}{n ^ {2} - 1}} $$

$$ b _ {2} = \frac {d + 2 a}{2} \sqrt {\frac {2 - n ^ {2}}{n ^ {2} - 1}} $$

所以满足条件的范围为

$$ \frac {d}{2} \sqrt {\frac {2 - n ^ {2}}{n ^ {2} - 1}} < b < \frac {d + 2 a}{2} \sqrt {\frac {2 - n ^ {2}}{n ^ {2} - 1}} $$