在 A B C 中， A B=4, A C=3, B A…——2020 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
在 $\triangle A B C$ 中，$A B=4, A C=3, \angle B A C=90^{\circ}, D$ 在边 $B C$ 上，延长 $A D$ 到 $P$ ，使得 $A P=9$ ，若 $\overrightarrow{P A}=m \overrightarrow{P B}+\left(\frac{3}{2}-m\right) \overrightarrow{P C}$（ $m$ 为常数），则 $C D$ 的长度是 $\_\_\_\_$ ．

【答案】 $\frac{18}{5}$

## 【解析】

## 【分析】

根据题设条件可设 $\overrightarrow{P A}=\lambda \overrightarrow{P D}(\lambda>0)$ ，结合 $\overrightarrow{P A}=m \overrightarrow{P B}+\left(\frac{3}{2}-m\right) \overrightarrow{P C}$ 与 $B, D, C$ 三点共线，可求得 $\lambda$ ，再根据勾股定理求出 $B C$ ，然后根据余弦定理即可求解．

【详解】 $\because A, D, P$ 三点共线，
∴ 可设 $\overrightarrow{P A}=\lambda \overrightarrow{P D}(\lambda>0)$ ，
$\because \overrightarrow{P A}=m \overrightarrow{P B}+\left(\frac{3}{2}-m\right) \overrightarrow{P C}$ ，
$\therefore \lambda \overrightarrow{P D}=m \overrightarrow{P B}+\left(\frac{3}{2}-m\right) \overrightarrow{P C}$ ，即 $\overrightarrow{P D}=\frac{m}{\lambda} \overrightarrow{P B}+\frac{\left(\frac{3}{2}-m\right)}{\lambda} \overrightarrow{P C}$ ，
若 $m \neq 0$ 且 $m \neq \frac{3}{2}$ ，则 $B, D, C$ 三点共线，
$\therefore \frac{m}{\lambda}+\frac{\left(\frac{3}{2}-m\right)}{\lambda}=1$ ，即 $\lambda=\frac{3}{2}$ ，
$\because A P=9, \therefore A D=3$ ，
$\because A B=4, A C=3, \angle B A C=90^{\circ}$ ，
$\therefore B C=5$ ，
设 $C D=x, \angle C D A=\theta$ ，则 $B D=5-x, \angle B D A=\pi-\theta$ ．
∴ 根据余弦定理可得 $\cos \theta=\frac{A D^{2}+C D^{2}-A C^{2}}{2 A D \cdot C D}=\frac{x}{6}, \cos (\pi-\theta)=\frac{A D^{2}+B D^{2}-A B^{2}}{2 A D \cdot B D}=\frac{(5-x)^{2}-7}{6(5-x)}$ ，
$\because \cos \theta+\cos (\pi-\theta)=0$,
$\therefore \frac{x}{6}+\frac{(5-x)^{2}-7}{6(5-x)}=0$ ，解得 $x=\frac{18}{5}$ ，
$\therefore C D$ 的长度为 $\frac{18}{5}$ ．
当 $m=0$ 时， $\overrightarrow{P A}=\frac{3}{2} \overrightarrow{P C}, C, D$ 重合，此时 $C D$ 的长度为 0 ，

当 $m=\frac{3}{2}$ 时， $\overrightarrow{P A}=\frac{3}{2} \overrightarrow{P B}, B, D$ 重合，此时 $P A=12$ ，不合题意，舍去．
故答案为： 0 或 $\frac{18}{5}$ ．
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出 $\overrightarrow{P A}=\lambda \overrightarrow{P D}(\lambda>0)$.