已知圆 O: x^ 2 +y^ 2 =1 和点 A(-2,…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$-\frac{1}{2}$ ；②$\frac{1}{2}$

【解析】

试题分析：设 $M(x, y)$ ，因为 $|M B|=\lambda|M A|$ ，

所以 $(x-b)^{2}+y^{2}=\lambda^{2}\left[(x+2)^{2}+y^{2}\right]$ ，
整理得 $\left(\lambda^{2}-1\right) x^{2}+\left(\lambda^{2}-1\right) y^{2}+\left(4 \lambda^{2}+20\right) x-b^{2}+4 \lambda^{2}=0$ ，
配方得 $x^{2}+y^{2}+\frac{4 \lambda^{2}+2 b}{\lambda^{2}-1} x+\frac{4 \lambda^{2}-b^{2}}{\lambda^{2}-1}-=0$ ，
因为对圆 $O$ 上那个任意一点 $M$ ，都有 $|M B|=\lambda|M A|$ 成立，

所以 $\left\{\begin{array}{l}4 \lambda^{2}+2 b=0 \\ \frac{4 \lambda^{2}-b^{2}}{\lambda^{2}-1}=-1\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{1}{2} \\ \lambda=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}b=-8 \\ \lambda=-2\end{array}\right.$（舍去）．
故 $\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{1}{2} \\ \lambda=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ ．
考点：圆的性质，两点间的距离公式，二元二次方程组的解法，难度中等．