2021_省自主命题（湖南）
18. 我国古代著作《墨经》中记载了小孔成倒像的实验，认识到光沿直线传播。身高1.6m的人站在水平地面上，其正前方0.6m处的竖直木板墙上有一个圆柱形孔洞，直径为1.0cm、深度为1.4cm，孔洞距水平地面的高度是人身高的一半。此时，由于孔洞深度过大，使得成像不完整，如图所示。现在孔洞中填充厚度等于洞深的某种均匀透明介质，不考虑光在透明介质中的反射。
（i）若该人通过小孔能成完整的像，透明介质的折射率最小为多少？
（ii）若让掠射进入孔洞的光能成功出射，透明介质的折射率最小为多少？
（i）1.38；（ii）1.7
【答案】（i）1.38；（ii）1.7
【解析】
【分析】
【详解】（i）根据题意作出如下光路图
当孔在人身高一半时有
$$ \tan \theta = \frac { \displaystyle \frac { h } { 2 } - \frac { d } { 2 } } { \displaystyle L } = \frac { 0 . 8 - 0 . 0 0 5 } { 0 . 6 } \approx \frac { 4 } { 3 } , \mathrm { s i n } \theta = 0 . 8 , $$
$$ { \tan \alpha = \ { \frac { 0 . 0 1 } { 0 . 0 1 4 } } = { \frac { 1 } { 1 . 4 } } , \ { \sin \alpha } = \ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 . 9 6 } } } } $$
由折射定律有
$$ n = { \frac { \sin \theta } { \sin \alpha } } \approx 1 . 3 8 $$
（ii）若让掠射进入孔洞的光能成功出射，则可画出如下光路图
根据几何关系有
$$ n ^ { \prime } = \frac { \sin 9 0 ^ { \circ } } { \sin \alpha } \approx 1 . 7 $$