（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=e^ x -…——2012 高考数学第 22 题答案解析

【解析】①$f^{\prime}(x)=e^{x}-a$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x=\ln a$ ，
当 $x<\ln a$ 时，$f^{\prime}(x)<0, ~ f(x)$ 单调迷减；当 $x>\ln a$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调迷增。
故当 $x=\ln a$ 时，$f(x)$ 取最小值 $f(\ln a)=a-a \ln a$ ．
于是对一切 $x \in R, \quad f(x) \geq 1$ 恒成立，当且仅当 $a-a \ln a \geq 1$

令 $g(t)=t-t \ln t$ ，则 $g^{\prime}(t)=-\ln t$ ．
当 $00, g(t)$ 单调递增；当 $t>1$ 时，$g^{\prime}(t)<0, g(t)$ 单调速减，故当 $t=1$ 时， $g(t)$ 取最大值 $g(1)=1$ ，因此，当且仅当 $a=1$ 时，①式成立。

综上所述，$a$ 的取值集合为 $\{1\}$ ．
（II）由题意知，$k=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=\frac{e^{x_{2}}-e^{x_{i}}}{x_{2}-x_{1}}-a$ ．
令 $\varphi(x)=f^{\prime}(x)-k=e^{x}-\frac{e^{x_{2}}-e^{x_{i}}}{x_{2}-x_{1}}$ ，则 $\varphi\left(x_{1}\right)=-\frac{e^{x_{i}}}{x_{2}-x_{1}}\left[e^{x_{2}-x_{1}}-\left(x_{2}-x_{1}\right)-1\right]$ ，
$\varphi\left(x_{2}\right)=\frac{e^{x_{2}}}{x_{2}-x_{1}}\left[e^{x_{1}-x_{2}}-\left(x_{1}-x_{2}\right)-1\right]$.
令 $F(t)=e^{t}-t-1$ ，则 $F^{\prime}(t)=e^{t}-1$ ．

当 $t<0$ 时，$F^{\prime}(t)<0, F(t)$ 单调速减；当 $t>0$ 时，$F^{\prime}(t)>0, F(t)$ 单调递增，故当 $t \neq 0$ 徐
$F(t)>F(0)=0$ 即 $e^{t}-t-1>0$ ．
从而 $e^{x_{2}-x_{1}}-\left(x_{2}-x_{1}\right)-1>0, e^{x_{1}-x_{2}}-\left(x_{1}-x_{2}\right)-1>0$ ，又 $\frac{e^{x_{1}}}{x_{2}-x_{1}}>0, \frac{e^{x_{2}}}{x_{2}-x_{1}}>0$ ，所
$\varphi\left(x_{1}\right)<0, \varphi\left(x_{2}\right)>0$ ．因为函数 $y=\varphi(x)$ 在区间 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 上的图象是连续不断的一条曲经
所以存在 $x_{0} \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使得 $\varphi\left(x_{0}\right)=0$ ，即 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=k$ 成立。
【考点定位】导数的综合应用。