2022_新课标II卷
16. 已知直线 l与椭圆 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 6 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 3 } } = 1$ 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且$\mid M A \mid = \mid N B \mid , \mid M N \mid = 2 \sqrt { 3 }$ ，则l的方程为
$x + { \sqrt { 2 } } y - 2 { \sqrt { 2 } } = 0$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 $x + { \sqrt { 2 } } y - 2 { \sqrt { 2 } } = 0$
【解析】
【分析】令AB 中点为E，设的 $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$ ，利用点差法得到 $k _ { O E } \cdot k _ { A B } = - \frac { 1 } { 2 }$ ，设直线$A B : y = k x + m ~ , ~ k < 0 ~ , ~ m > 0$ ，求出M、N的坐标，再根据 $\left| M N \right|$ 求出k、m，即可得解；【详解】解：令AB的中点为E，因为 $\left| M A \right| = \left| N B \right|$ ，所以 $\left| M E \right| = \left| N E \right|$ 设 $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$ ，则 $\frac { x _ { 1 } ^ { \ 2 } } { 6 } + \frac { y _ { 1 } ^ { \ 2 } } { 3 } = 1 \ , \frac { x _ { 2 } ^ { \ 2 } } { 6 } + \frac { y _ { 2 } ^ { \ 2 } } { 3 } = 1$ 所以 $\frac { x _ { 1 } ^ { \ 2 } } { 6 } - \frac { x _ { 2 } ^ { \ 2 } } { 6 } + \frac { y _ { 1 } ^ { \ 2 } } { 3 } - \frac { y _ { 2 } ^ { \ 2 } } { 3 } = 0$ ，即 ${ \frac { \left( x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) } { 6 } } + { \frac { \left( y _ { 1 } + y _ { 2 } \right) \left( y _ { 1 } - y _ { 2 } \right) } { 3 } } = 0$ 所以 $\frac { \big ( y _ { 1 } + y _ { 2 } \big ) \big ( y _ { 1 } - y _ { 2 } \big ) } { \big ( x _ { 1 } - x _ { 2 } \big ) \big ( x _ { 1 } + x _ { 2 } \big ) } = - \frac { 1 } { 2 }$ ，即 $k _ { O E } \cdot k _ { A B } = - \frac { 1 } { 2 }$ ，设直线 $A B : y = k x + m$ $k < 0$ $m > 0$ 令 x = 0 得 y m= ，令 y = 0 得 $x = - { \frac { m } { k } }$ ，即 $M \left( - \frac { m } { k } , 0 \right)$ ，N(0,m)，所以 $E { \left( - \frac { m } { 2 k } , \frac { m } { 2 } \right) }$ 即 $k \times \frac { \displaystyle { \frac { m } { 2 } } } { \displaystyle { - \frac { m } { 2 k } } } = - \frac { 1 } { 2 }$ ，解得 $k = - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ 或 $k = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ （舍去），又 $\left| M N \right| = 2 { \sqrt { 3 } }$ ，即 $\left| M N \right| = \sqrt { m ^ { 2 } + \left( \sqrt { 2 } m \right) ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 3 }$ ，解得m = 2 或m = -2（舍去），
所以直线 $A B : y = - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } x + 2$ ，即 $x + { \sqrt { 2 } } y - 2 { \sqrt { 2 } } = 0$ ；
故答案为： $x + { \sqrt { 2 } } y - 2 { \sqrt { 2 } } = 0$