（15 分）已知函数 f(x)=(x- 2 x-1 ) e…——2017 高考数学第 20 题答案解析

【分析】（1）求出 $f(x)$ 的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；

（2）求出 $f(x)$ 的导数，求得极值点，讨论当 $\frac{1}{2}\frac{5}{2}$ 时，$f(x)$ 的单调性，判断 $f(x) \geqslant 0$ ，计算 $f\left(\frac{1}{2}\right), f(1), f\left(\frac{5}{2}\right)$ ，即可得到所求取值范围。

【解答】解：（1）函数 $f(x)=(x-\sqrt{2 x-1}) e^{-x}\left(x \geqslant \frac{1}{2}\right)$ ，
导数 $f^{\prime}(x)=\left(1-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x-1}} \cdot 2\right) e^{-x}-(x-\sqrt{2 x-1}) e^{-x}$
$=\left(1-x+\frac{2 x-2}{\sqrt{2 x-1}}\right) e^{-x}=(1-x)\left(1-\frac{2}{\sqrt{2 x-1}}\right) e^{-x}$ ；
②由 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime}(x)=(1-x)\left(1-\frac{2}{\sqrt{2 x-1}}\right) e^{-x}$ ，
可得 $f^{\prime}(x)=0$ 时，$x=1$ 或 $\frac{5}{2}$ ，
当 $\frac{1}{2}当 $10, f(x)$ 递增；
当 $x>\frac{5}{2}$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 递减，
且 $x \geqslant \sqrt{2 x-1} \Leftrightarrow x^{2} \geqslant 2 x-1 \Leftrightarrow(x-1)^{2} \geqslant 0$ ，
则 $f(x) \geqslant 0$ ．
由 $\mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, \mathrm{f}(1)=0, \mathrm{f}\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{5}{2}}$ ，
即有 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}}$ ，最小值为 $f(1)=0$ ．
则 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上的取值范围是 $\left[0, \frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\right]$ ．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．