已知双曲线 C : x ^ 2 a ^ 2 - y ^ 2…——2022 高考数学第 21 题答案解析

21. 已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt { 3 } x$

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 $P \big ( x _ { 1 } , y _ { 1 } \big ) , Q \big ( x _ { 2 } , y _ { 2 } \big )$ 在C上，且$x _ { 1 } > x _ { 2 } > 0 , y _ { 1 } > 0$ ．过P且斜率为- $\phantom { 0 } { - \sqrt { 3 } }$ 的直线与过Q 且斜率为 $\sqrt { 3 }$ 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在AB 上；②PQ AB∥ ；③| $M A | { = } | M B |$

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.