已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，…——2022 高考数学第 21 题答案解析

【答案】 （1）
$2 214 3y x+ =$
（2）(0, 2)-
【解析】
【分析】 （1）将给定点代入设出的方程求解即可；

②设出直线方程，与椭圆 C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【小问 1 详解】
解：设椭圆 E 的方程为 $2 21mx ny+ =$，过 30, 2 , , 12A Bæ- -öç ÷è ø
，
则
$4 1914nm n=$ìïí+ =ïî
，解得 $13m=$， $14n=$，
所以椭圆 E 的方程为：
$2 214 3y x+ =.$
【小问 2 详解】
3(0, 2), ( , 1)2A B- -，所以 2: $23+ =AB y x$，
①若过点 (1, 2)P-的直线斜率不存在，直线 $1x=.$代入
$2 213 4x y+ =$，
可得 2 6(1, )3M-， 2 6(1, )3N，代入 AB 方程 $223y x= -$，可得
2 6( 6 3, )3T- + -，由$MT TH=uuur uuu r$
得到 2 6( 2 6 5, )3H- + -.求得 HN 方程：
2 6(2 ) $23y x= + -$，过点(0, 2)-.
②若过点 (1, 2)P-的直线斜率存在，设 1 1 2 2( 2) $0, ( , ), ( , )kx y k M x y N x y- - + =.$
联立 2 2( 2) $0,13 4kx y kx y- - + =$ìïí+ =ïî
得 2 2(3 4) 6 (2 ) 3 ( 4) $0k x k k x k k+ - + + + =$，
可得
1 221 226 (2 )3 43 (4 )3 4k kx xkk kx xk+ì+ =ïï+í+ï=ï+î
，
1 2221 228 23 44 4 4 23 4ky ykk ky ykì- ++ =ï+ïí+ -ï=ï+î
，
且 $1 2 2 1224(*)3 4kx y x yk-+ =+$
联立
$1,223y yy x=$ìïí= -ïî
可得 11 1 1 13( 3, ), (3 6 , ).2yT y H y x y+ + -

可求得此时 1 22 21 1 2: $3 6y yHN y y x xy x x-- = -+ - -$，
将(0, 2)-，代入整理得 $1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 6 3 12 0x x y y x y x y y y+ - + + + - - =$，
将(*)代入，得 $2 2 224 12 96 48 24 48 48 24 36 48 0,k k k k k k k+ + + - - - + - - =$
显然成立，
综上，可得直线 HN 过定点(0, 2).-
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.