（本小题满分 14 分） π 为圆周率， e=2.7182…——2014 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（1）单调增区间为 $(0, e)$，单调减区间为 $(e,+\infty)$；（2）最大数为 $3^{n}$，最小数为 $3^{e}$；③ $3^{e}, e^{3}$， $\pi^{e}, e^{\pi}, \pi^{3}, 3^{\pi}$.

【解析】

试题分析：（1）先求函数 $f(x)$ 的定义域，用导数法求函数 $f(x)$ 的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函数根据函数 $y=\ln x, y=e^{x}, y=\pi^{x}$ 的性质，确定 $e^{3}, 3^{e}, e^{\pi}, \pi^{e}, 3^{\pi}, \pi^{3}$ 这 6 个数中的最大数与最小数．

试题解析：（1）函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，因为 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$，所以 $f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$，当 $f^{\prime}(x)>0$，即 $0<x<e$ 时，函数 $f(x)$ 单调迷增；

当 $f^{\prime}(x)<0$，即 $x>e$ 时，函数 $f(x)$ 单调速减；

故函数 $f(x)$ 的单调增区间为 $(0, e)$，单调减区间为 $(e,+\infty)$．
（2）因为 $e<3<\pi$，所以 $e \ln 3<e \ln \pi, \pi \ln e<\pi \ln 3$，即 $\ln 3^{e}<\ln \pi^{e}, \ln e^{\pi}<\ln 3^{\pi}$，于是根据函数 $y=\ln x, y=e^{x}, y=\pi^{x}$ 在定 以 域上单调㓐增，

所以 $3^{e}<\pi^{e}<\pi^{3}, e^{3}<e^{\pi}<3^{\pi}$，
故这 6 个数的最大数在 $\pi^{3}$ 与 $3^{\pi}$ 之中，最小数在 $3^{e}$ 与 $e^{3}$ 之中，
由 $e<3<\pi$ 及（1）的结论得 $f(\pi)<f(3)<f(e)$，时 $\frac{\ln \pi}{\pi}<\frac{\ln 3}{3}<\frac{\ln e}{e}$，
由 $\frac{\ln \pi}{\pi}<\frac{\ln 3}{3}$ 得 $\ln \pi^{3}<\ln 3^{\pi}$，所以 $3^{\pi}>\tau^{2}$，
由 $\frac{\ln 3}{3}<\frac{\ln e}{e}$ 得 $\ln 3^{e}<\ln e^{3}$，所以 $3^{e}<e^{3}$，
综上， 6 个数中的最大数为 $3^{\pi}$，最小数为 $3^{e}$．
考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小。