2012_上海卷
14.已知 $f ( x ) = { \frac { 1 } { 1 + x } }$ ，各项均为正数的数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 1$ $a _ { n + 2 } = f ( a _ { n } )$ 若 $a _ { 2 0 1 0 } = a _ { 2 0 1 2 }$ ，则 $a _ { 2 0 } + a _ { 1 1 }$ 的值是
$\frac { 3 + 1 3 { \sqrt { 5 } } } { 2 6 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 $\frac { 3 + 1 3 { \sqrt { 5 } } } { 2 6 }$
【解析】据题 $f ( x ) = { \frac { 1 } { 1 + x } }$ ，并且 $a _ { n + 2 } = f ( a _ { n } )$ ，得到 $a _ { n + 2 } = { \frac { 1 } { 1 + a _ { n } } }$
$a _ { 1 } = 1 , a _ { 3 } = { \frac { 1 } { 2 } } , a _ { 2 0 1 0 } = a _ { 2 0 1 2 }$ ，得到 $\frac { 1 } { 1 + a _ { 2 0 1 0 } } = a _ { 2 0 1 0 }$ ，解得
$a _ { _ { 2 0 1 0 } } = \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$ （负值舍去）.依次往前推得到
$$ a _ { 2 0 } + a _ { 1 1 } = \frac { 3 + 1 3 \sqrt { 5 } } { 2 6 } $$
【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件
$a _ { n + 2 } = f ( a _ { n } )$ 是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.