（5分）设函数 f(x)=ln (1+|x|)- 1 1+…——2015 高考数学第 12 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论。
【解答】解：∵ 函数 $f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^{2}}$ 为偶函数，
且在 $x \geq 0$ 时，$f(x)=\ln (1+x)-\frac{1}{1+x^{2}}$ ，
导数为 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{2 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}>0$ ，
即有函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 单调递增，
$\therefore f(x)>f(2 x-1)$ 等价为 $f(|x|)>f(|2 x-1|)$ ，
即 $|x|>|2 x-1|$ ，
平方得 $3 x^{2}-4 x+1<0$ ，
解得：$\frac{1}{3}

所求 $x$ 的取值范围是 $\left(\frac{1}{3}, 1\right)$ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．