已知 f(x)= x 1+x , x ≥ 0，若 f_ 1…——2014 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac{x}{1+2014 x}$

## 【解析】

试题分析：$f(x)=\frac{x}{1+x}=\frac{x+1-1}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}, \because x \geq 0, \therefore 1+x \geq 1, \therefore \frac{1}{1+x} \leq 1, \therefore 1-\frac{1}{1+x} \geq 0$ ，即 $f(x) \geq 0$ ，当且仅当 $x=0$ 时取等号，当 $x=0$ 时，$f_{n}(0)=0$ ；当 $x>0$ 时 $f(x)>0, \because f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right) \therefore f_{n+1}(x)=\frac{f_{n}(x)}{1+f_{n}(x)}, \therefore \frac{1}{f_{n+1}(x)}=\frac{1+f_{n}(x)}{f_{n}(x)}=\frac{1}{f_{n}(x)}+1$ ，即 $\frac{1}{f_{n+1}(x)}-\frac{1}{f_{n}(x)}=1, \therefore$ 数列 $\left\{\frac{1}{f_{n}(x)}\right\}$ 是以 $f_{1}(x)$ 为首项，以 1 为公差的等差数列 $\therefore \frac{1}{f_{n}(x)}=\frac{1}{f_{1}(x)}+(n-1) \times 1=\frac{1}{\frac{x}{1+x}}+(n-1) \times 1=\frac{1+n x}{x}$

$\therefore f_{n}(x)=\frac{x}{1+n x}(x>0)$ ，当 $x=0$ 时，$f_{n}(0)=\frac{0}{1+0}=0, \therefore f_{n}(x)=\frac{x}{1+n x}(x \geq 0)$ ，
$\therefore f_{2014}(x)=\frac{x}{1+2014 x}$
考点：数列的通项公式；数列与函数之间的关系．