（14分）（2011•浙江）已知函数 f ( x )= A…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【考点】函数 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的图象变换；三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质。
【分析】（I）由已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{Asin}\left(\frac{\pi}{3} \mathrm{x}+\phi\right)$ ，我们易求出函数的最小正周期 ，又由 P 的坐标为 $(1, \mathrm{~A})$ ，我们易构造出一个关于 $\phi$ 的三角方程，结合 $0<\phi<\frac{\pi}{2}$ 解三角方程即可求出 $\boldsymbol{\phi}$ 值．
（II）根据（I）的结论及 R 的坐标，和 $\angle \mathrm{PRQ}=\frac{2 \pi}{3}$ ，利用余弦定理我们易构造出一个关于 A 的方程，解方程即可得到 A 的值．
【解答】解：（I）由题意得，$T=\frac{2 \pi}{\frac{\pi}{3}}=6$
$\because \mathrm{P}(1, \mathrm{~A})$ 在函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{Asin}\left(\frac{\pi}{3} \mathrm{x}+\phi\right)$ 的图象上
$\therefore \sin \left(\frac{\pi}{3}+\phi\right)=1$
又 $\because 0<\phi<\frac{\pi}{2}$
$\therefore \phi=\frac{\pi}{6}$
（II）由 $\mathrm{P} , \mathrm{Q}$ 分别为该图象的最高点和最低点，点 P 的坐标为（ $1, \mathrm{~A}$ ），结合（I）可知点 $Q$ 的坐标为（ $4,-A$ ）
连接 PQ ，在 $\triangle \mathrm{PRQ}$ 中，$\angle \mathrm{PRQ}=\frac{2 \pi}{3}$
可得，$\angle \mathrm{QRX}=\frac{\pi}{6}$ ，作 $\mathrm{QM} \perp \mathrm{X}$ 轴于 M ，则 $\mathrm{QM}=\mathrm{A}, ~ \mathrm{RM}=3$ ，
所以有 $\tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{Q M}{R M}=\frac{A}{3}$
$\therefore \mathrm{A}=\sqrt{3}$

【点评】本题考查的知识点是函数 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的图象变换，三角函数的周期性及其求法，其中根据已知中条件构造关于参数A，$\phi$ 是解答本题的关键．