（14分）（2008•陕西）设函数 f(x)=x^ 3 +…——2008 高考数学第 22 题答案解析

【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】压轴题。
【分析】①先对函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 进行求导，令导函数大于 0 可求函数的增区间，令导函数小于 0 可求函数的减区间。
②令 $f(x)=g(x)$ 整理可得 $x\left[x^{2}-\left(a^{2}-2\right)\right]=0$ ，故 $a^{2}-2 \leq 0$ 求出 $a$ 的范围，再根据 $g(x)$ 存在最小值必有 $a>0$ ，最后求出 $h(a)$ 的值域即可。
③分别求出函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的单调区间，然后令（ $a, a+2$ ）为二者单调增区间的子集即可。
【解答】解：（I）$\because f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x-a^{2}=3\left(x-\frac{a}{3}\right)(x+a)$ ，又 $a>0$ ，
∴ 当 $x<-a$ 或 $x>\frac{a}{3}$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
当 $-a$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty,-\mathrm{a})$ 和 $\left(\frac{\mathrm{a}}{3},+\infty\right)$ 内是增函数，在 $\left(-\mathrm{a}, \frac{\mathrm{a}}{3}\right)$ 内是减函数．
（II）由题意知 $x^{3}+a x^{2}-a^{2} x+1=a x^{2}-2 x+1$ ，
即 $\mathrm{x}\left[\mathrm{x}^{2}-\left(\mathrm{a}^{2}-2\right)\right]=0$ 恰有一根（含重根）。 $\therefore \mathrm{a}^{2}-2 \leq 0$ ，即 $-\sqrt{2} \leq \mathrm{a} \leq \sqrt{2}$ ，
又 $a \neq 0, \therefore a \in[-\sqrt{2}, 0) \cup(0, \sqrt{2}]$ ．
当 $\mathrm{a}>0$ 时， $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 才存在最小值，$\therefore \mathrm{a} \in(0, \sqrt{2}]$ ．

$\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{a}\left(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{a}}\right)^{2}+1-\frac{1}{\mathrm{a}}$,
$\therefore h(a)=1-\frac{1}{a}, a \in(0, \sqrt{2}]$ ．
h（a）$\leq 1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；
$\therefore h$（a）的值域为 $\left(-\infty, 1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ ．
（III）当 $\mathrm{a}>0$ 时， $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty,-\mathrm{a})$ 和 $\left(\frac{\mathrm{a}}{3},+\infty\right)$ 内是增函数， $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在 $\left(\frac{1}{\mathrm{a}},+\infty\right)$ 内是增函数

由题意得 $\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ a \geqslant \frac{a}{3}, \\ a \geqslant \frac{1}{a}\end{array}\right.$ 解得 $a \geq 1 ;$
当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 和 $(-a,+\infty)$ 内是增函数，$g(x)$ 在 $\left(-\infty, \frac{1}{a}\right)$ 内是增函数．
由题意得 $\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ a+2 \leqslant \frac{a}{3} \\ a+2 \leqslant \frac{1}{a}\end{array}\right.$ 解得 $a \leq-3$ ；
综上可知，实数 a 的取值范围为 $(-\infty,-3] \cup[1,+\infty)$ ．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导函数小于 0 时原函数单调递减，当导函数大于 0 时原函数单调递增。