在三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 中，…——2020 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B \perp A C, B_{1} C \perp$ 平面 $A B C, E, F$ 分别是 $A C, B_{1} C$ 的中点．

（1）求证：$E F / /$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；
（2）求证：平面 $A B_{1} C \perp$ 平面 $A B B_{1}$ ．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析．

## 【解析】

【分析】
（1）通过证明 $E F / / A B_{1}$ ，来证得 $E F / /$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ．
（2）通过证明 $A B \perp$ 平面 $A B_{1} C$ ，来证得平面 $A B_{1} C \perp$ 平面 $A B B_{1}$ ．

【详解】①由于 $E, F$ 分别是 $A C, B_{1} C$ 的中点，所以 $E F / / A B_{1}$ ．

由于 $E F \not \subset$ 平面 $A B_{1} C_{1}, A B_{1} \subset$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ，所以 $E F / /$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ．
（2）由于 $B_{1} C \perp$ 平面 $A B C, A B$｜平面 $A B C$ ，所以 $B_{1} C \perp A B$ ．

由于 $A B \perp A C, A C \cap B_{1} C=C$ ，所以 $A B \perp$ 平面 $A B_{1} C$ ，

由于 $A B$｜̀ 平面 $A B B_{1}$ ，所以平面 $A B_{1} C \perp$ 平面 $A B B_{1}$ ．

【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题．