如图， D 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， A B…——2020 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；
②$\frac{\sqrt{6}}{8}$ ．

## 【解析】

【分析】
（1）根据已知可得 $P A=P B=P C$ ，进而有 $\triangle P A C \cong \triangle P B C$ ，可得
$\angle A P C=\angle B P C=90^{\circ}$ ，即 $P B \perp P C$ ，从而证得 $P C \perp$ 平面 $P A B$ ，即可证得结论；

（2）将已知条件转化为母线 $l$ 和底面半径 $r$ 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形 $A B C$ 边长，在等腰直角三角形 $A P C$ 中求出 $A P$ ，在 $R t \triangle A P O$ 中，求出 $P O$ ，即可求出结论．

【详解】（1） $\mathrm{Q} D$ 为圆锥顶点，$O$ 为底面圆心，$\therefore O D \perp$ 平面 $A B C$ ，
$\because P$ 在 $D O$ 上，$O A=O B=O C, \therefore P A=P B=P C$ ，
$\because \triangle A B C$ 是圆内接正三角形，$\therefore A C=B C, \triangle P A C \cong \triangle P B C$ ，
$\therefore \angle A P C=\angle B P C=90^{\circ}$ ，即 $P B \perp P C, P A \perp P C$ ，
$P A \cap P B=P, \therefore P C \perp$ 平面 $P A B, P C \subset$ 平面 $P A C, \therefore$ 平面 $P A B \perp$ 平面 $P A C$ ；
（2）设圆锥的母线为 $l$ ，底面半径为 $r$ ，圆锥的侧面积为 $\pi r l=\sqrt{3} \pi, r l=\sqrt{3}$ ，
$O D^{2}=l^{2}-r^{2}=2$ ，解得 $r=1, l=\sqrt{3}, A C=2 r \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$ ，
在等腰直角三角形 $A P C$ 中，$A P=\frac{\sqrt{2}}{2} A C=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，
在 Rt $\triangle P A O$ 中，$P O=\sqrt{A P^{2}-O A^{2}}=\sqrt{\frac{6}{4}-1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
∴ 三棱锥 $P-A B C$ 的体积为 $V_{P-A B C}=\frac{1}{3} P O \cdot S_{\triangle A B C}=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3=\frac{\sqrt{6}}{8}$ ．

【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题．