作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，…——2009 高考数学第 1 题答案解析

【解答】
（5分）（2009•广东）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是函数 $\mathrm{y}=\mathrm{a}^{\mathrm{x}-\mathrm{a}} ~(\mathrm{a}>0$ ，且 $\mathrm{a} \neq 1)$ 的反函数，且 f （ $\left.\frac{1}{2}\right)=1$ ，则函数 $\mathrm{y}=~(\quad)$
A． $\log _{2} \mathrm{x}$ B．$\frac{1}{2^{\mathrm{x}}}$
C． $\log _{\frac{1}{2}} \mathrm{x}$
D． $2^{\mathrm{x}-2}$

【考点】反函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由 $\mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right)=1$ 可得 $\mathrm{f}^{-1}(1)=\frac{1}{2}$ ，即 $\mathrm{a}^{1-\mathrm{a}}=\frac{1}{2}$ ，解出 a 的值，即得函数 y 的解析式．
【解答】解：$\because f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，
$\therefore \mathrm{f}^{-1}(1)=\frac{1}{2}$ ，
由题意知 $\mathrm{a}^{1-\mathrm{a}}=\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \mathrm{a}=2$ ，
$y=a^{x-a}(a>0$ ，且 $a \neq 1) y=2^{x-2}$ ，
故选 D．
【点评】本题考查反函数的定义和反函数的求法，函数与反函数的关系．

1．已知全集 $U=R$ ，则正确表示集合 $M=\{$ —
1， 0,1$\}$ 和 $\mathrm{N}=\left\{x \mid x^{2}+1=0\right\}$ 关系的韦恩（Venn）图是

A．

B．

C．

D．

【解答】
（5分）（2009•广东）已知全集 $U=R$ ，则正确表示集合 $M=\{-1,0,1\}$ 和 $N=\left\{x \mid x^{2}+x=0\right\}$关系的韦恩（Venn）图是

A．

B．

C．

D．

【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】集合。
【分析】先化简集合 $N$ ，得 $N=\{-1,0\}$ ，再看集合 $M$ ，可发现集合 $N$ 是 $M$ 的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案。
【解答】解：．由 $\mathrm{N}=\left\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}=0\right\}$ ，
得 $\mathrm{N}=\{-1,0\}$ ．
$\because \mathrm{M}=\left\{\begin{array}{lll}-1, & 0, & 1\end{array}\right\}$ ，
$\therefore \mathrm{N} \subset \mathrm{M}$ ，
故选B．
【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识 ，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。属于基础题。

2．下列 n 的取值中，使 $\mathrm{i}^{\mathrm{n}}=1$（ i 是虚数单位）的是
A．$n=2$
B． $\mathrm{n}=3$
C． $\mathrm{n}=4$
D．$n=5$

【解答】
（5分）（2009•广东）下列 n 的取值中，使 $\mathrm{i}^{\mathrm{n}}=1$（ i 是虚数单位）的是（）
A．$n=2$
B．$n=3$
C． $\mathrm{n}=4$
D． $\mathrm{n}=5$

【考点】虚数单位 i 及其性质．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】要使的虚数单位的 n 次方等于 1 ，则 n 只能是 4 的整数倍，在本题所给的选项中，只有数字 4 符合题意，得到结果。
【解答】解：∵ 要使 $\mathrm{i}^{\mathrm{n}} ;=1$ ，
则 n 必须是 4 的整数倍，
在下列的选项中只有C符合题意，
故选C
【点评】本题考查虚数单位及性质，是一个基础题，题目若出现一定是一个必得分题目，不要忽视对这种简单问题的解答。

3．已知平面向量 $\mathrm{a}=(x, 1), \mathrm{b}=\left(-x, x^{2}\right)$ ，则向量 $\mathrm{a}+\mathrm{b}$
A．平行于 x 轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于 $y$ 轴
D．平行于第二、四象限的角平分线

【解答】
（5分）（2009•广东）已知平面向量 $\vec{a}=(x, 1), \vec{b}=\left(-x, x^{2}\right)$ ，则向量 $\vec{a}+\vec{b}($ ）
A．平行于 $x$ 轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于 y 轴
D．平行于第二、四象限的角平分线

【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】先做出两个向量的和，横标和纵标都用含 x 的代数式表示，结果和的横标为零，得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点，比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．

【解答】解： $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(0,1+\mathrm{x}^{2}\right), 1+\mathrm{x}^{2} \neq 0$ ，
故 $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 平行于 y 轴．
故选C
【点评】本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．