2012_退役省自主命题 (2012·理)
16．（选修 4－4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线 $\theta=\frac{\pi}{4}$与曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t+1, \\ y=(t-1)^{2}\end{array}\right.$（ t 为参数）相较于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 来两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为 $\_\_\_\_$ ．
【答案】 $\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$
【解析】 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 在直角坐标系下的一般方程为 $y=x(x \in R)$ ，将参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+1, \\ y=(t-1)^{2}\end{array} \quad(t\right.$ 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为 $y=(t-1)^{2}=(x-1-1)^{2}=(x-2)^{2}$ 表示一条抛物线，联立上面两个方程消去 $y$ 有 $x^{2}-5 x+4=0$ ，设 $A , B$ 两点及其中点 $P$ 的塃坐标分别为 $x_{A} , x_{B} , x_{0}$ ，则有韦达定理 $x_{0}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{5}{2}$ ，又由于点 $P$ 点在直线 $y=x$ 上，因此， $A B$ 的中点 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$ ．
【考点定位】本小题考查坐标系与参数方程，属选学内容之一，熟练掌握基础知识是解决好本．题目的关键．