若函数 f(x) = a ln x + b x + c x…——2023 高考数学第 11 题答案解析

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ ，由已知可得 $f'(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数 $f(x) = a \ln x + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}$ 的定义域为 $(0, +\infty)$ ，求导得 $f'(x) = \frac{a}{x} - \frac{b}{x^2} - \frac{2c}{x^3} = \frac{ax^2 - bx - 2c}{x^3}$ ，因为函数 $f(x)$ 既有极大值也有极小值，则函数 $f'(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有两个变号零点，而 $a \neq 0$ ，因此方程 $ax^2 - bx - 2c = 0$ 有两个不等的正根 $x_1, x_2$ ，

于是 $\left\{ \begin{array}{l} \Delta = b^{2} + 8ac > 0 \\ x_{1} + x_{2} = \frac{b}{a} > 0 \\ x_{1}x_{2} = -\frac{2c}{a} > 0 \end{array} \right.$ ，即有 $b^{2} + 8ac > 0$ ， $ab > 0$ ， $ac < 0$ ，显然 $a^{2}bc < 0$ ，即 $bc < 0$ ，A 错误，BCD

正确.

故选：BCD