2022_全国甲卷
13. 设向量 ${ \vec { a } } \ , \ { \vec { b } }$ 的夹角的余弦值为 $\frac 1 3$ ，且 $\left| { \vec { a } } \right| = 1$ $\left| { \overset { \underset { \mathsf { I } } { } } { b } } \right| = 3$ ，则 $\left( \vec { 2 a } + \vec { b } \right) \cdot \vec { b }$ =
11
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】11
【解析】
【分析】设 $\vec { a }$ 与 $\vec { b }$ 的夹角为 $\theta$ ，依题意可得 $\cos \theta = \frac { 1 } { 3 }$ ，再根据数量积的定义求出 $\vec { a } \cdot \vec { b }$ ，最后根据数量积的运算律计算可得
【详解】解：设 $\overset { } { a }$ 与 $\vec { b }$ 的夹角为 $\theta$ ，因为 $\overset { \vartriangle } { \boldsymbol { a } }$ 与 $\vec { b }$ 的夹角的余弦值为 $\frac 1 3$ ，即 $\cos \theta = \frac { 1 } { 3 }$
又 $\left| { \vec { a } } \right| = 1$ $\left| { \overset { \underset { \mathsf { I } } { } } { b } } \right| = 3$ ，所以 $\stackrel { } { a } \cdot \vec { b } = | \vec { a } | \cdot | \vec { b } | \cos \theta = 1 \times 3 \times \frac { 1 } { 3 } = 1$
所以 ${ \Big ( } { \vec { 2 a } } + { \vec { b } } { \Big ) } \cdot { \vec { b } } = 2 { \vec { a } } \cdot { \vec { b } } + { \vec { b } } ^ { 2 } = 2 { \vec { a } } \cdot { \vec { b } } + { \Big | } { \vec { b } } { \Big | } ^ { 2 } = 2 \times 1 + 3 ^ { 2 } = 1 1$
故答案为：11