【答案】① $e = { \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } }$
> ② $\frac { x ^ { 2 } } { 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
> ②由①可知椭圆的方程为 $x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } = a ^ { 2 }$ ，设直线l的方程为 $y = k x + m$ ，将直线l的方程与椭圆方程联立，由D =0可得出 $3 m ^ { 2 } = a ^ { 2 } \left( 1 + 3 k ^ { 2 } \right)$ ，求出点M的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求
得 $a ^ { 2 }$ 的值，即可得出椭圆的方程.
【小问 1 详解】
解： ${ \frac { \left| B F \right| } { \left| A B \right| } } = { \frac { \sqrt { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } { \sqrt { b ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } = { \frac { a } { \sqrt { b ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \Rightarrow 4 a ^ { 2 } = 3 { \left( b ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) } \Rightarrow a ^ { 2 } = 3 b ^ { 2 }$
离心率为 $e = { \frac { c } { a } } = { \sqrt { \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } = { \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } }$
【小问2详解】
解：由①可知椭圆的方程为 $x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } = a ^ { 2 }$
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为 $y = k x + m$
联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { y = k x + m } \\ { x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } = a ^ { 2 } } \end{array} \right.$ 得 $\left( 1 + 3 k ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } + 6 k m x + \left( 3 m ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) = 0$
由 $\Delta = 3 6 k ^ { 2 } m ^ { 2 } - 4 { \left( 1 + 3 k ^ { 2 } \right) } { \left( 3 m ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) } = 0 \Rightarrow 3 m ^ { 2 } = a ^ { 2 } \left( 1 + 3 k ^ { 2 } \right)$ ，①
$$
x _ {M} = - \frac {3 k m}{3 k ^ {2} + 1}, \quad y _ {M} = k x _ {M} + m = \frac {m}{1 + 3 k ^ {2}},
$$
由 $\left| O M \right| = \left| O N \right|$ 可得 $m ^ { 2 } = \frac { m ^ { 2 } \left( 9 k ^ { 2 } + 1 \right) } { \left( 3 k ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } }$ ，②
由 $\boldsymbol { S } _ { \triangle { O M N } } = \sqrt { 3 }$ 可得 $\frac { 1 } { 2 } \vert m \vert \cdot \frac { \vert 3 k m \vert } { 1 + 3 k ^ { 2 } } = \sqrt { 3 }$ ，③
联立①②③可得 $k ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } , m ^ { 2 } = 4 , a ^ { 2 } = 6$ ，故椭圆的标准方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$