（10分）在直角坐标系 x O y 中，曲线 C_ 1 :…——2015 高考数学第 23 题答案解析

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程； QH ：参数方程化成普通方程．
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】①由曲线 $C_{2}: \rho=2 \sin \theta$ ，化为 $\rho^{2}=2 \rho \sin \theta$ ，把 $\left\{\begin{array}{l}\rho^{2}=x^{2}+y^{2} \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入可得直角坐标方程．同理由 $C_{3}: \rho=2 \sqrt{3} \cos \theta$ ．可得直角坐标方程，联立解出可得 $C_{2}$与 $\mathrm{C}_{3}$ 交点的直角坐标。
（2）由曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的参数方程，消去参数 t ，化为普通方程： $\mathrm{y}=\mathrm{x} \tan \alpha$ ，其中 $0 \leq \alpha \leq \pi$ ，$\alpha \neq \frac{\pi}{2} ; \alpha=\frac{\pi}{2}$ 时，为 $x=0(y \neq 0)$ ．其极坐标方程为：$\theta=\alpha ~(\rho \in R, \rho \neq 0)$ ，利用 $|A B|=|2 \sin \alpha-2 \sqrt{3} \cos \alpha|$ 即可得出。

【解答】解：（1）由曲线 $C_{2}: \rho=2 \sin \theta$ ，化为 $\rho^{2}=2 \rho \sin \theta$ ， $\therefore x^{2}+y^{2}=2 y$ ．

同理由 $C_{3}: \rho=2 \sqrt{3} \cos \theta$ ．可得直角坐标方程：$x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{3} x$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 y=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 \sqrt{3} x=0\end{array}\right.$ ，
解得 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.\right.$ ，
$\therefore \mathrm{C}_{2}$ 与 $\mathrm{C}_{3}$ 交点的直角坐标为 $(0,0),\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ ．
（2）曲线 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=t \cos \alpha \\ y=t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数，$t \neq 0$ ），化为普通方程：$y=x \tan \alpha$ ，其中 $0 \leq \alpha \leq \pi, \alpha \neq \frac{\pi}{2} ; \alpha=\frac{\pi}{2}$ 时，为 $x=0(y \neq 0)$ ．其极坐标方程为：$\theta=\alpha ~(\rho \in R, \rho \neq 0)$

$\because A, B$ 都在 $C_{1}$ 上，
$\therefore A(2 \sin \alpha, \alpha), B(2 \sqrt{3} \cos \alpha, \alpha)$ ．
$\therefore|A B|=|2 \sin \alpha-2 \sqrt{3} \cos \alpha|=4\left|\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)\right|$ ，
当 $\alpha=\frac{5 \pi}{6}$ 时，$|A B|$ 取得最大值 4 。
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

## 六、选修4－5不等式选讲