2024_省自主命题（海南）
18. 某游乐项目装置简化如图，A为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径 $R = 1 0 \mathrm { m }$ ，滑梯顶点 $a$ 与滑梯末端b的高度 $h = 5 \mathrm { m }$ ，静止在光滑水平面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，并与其水平相切，滑板质量$M = 2 5 \mathrm { k g }$ ，一质量为 $m = 5 0 \mathrm { k g }$ 的游客，从a点由静止开始下滑，在b点滑上滑板，当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行 $s = 1 6 \mathrm { m }$ 停下。游客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为 $\mu = 0 . 2$ ，忽略空气阻力，重力加速度 $g = 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }$ ，求：
（1）游客滑到b点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度L
(1) 1000N; (2) 7m
【答案】（1）1000N；（2）7m
【解析】
【详解】（1）设游客滑到b点时速度为 $\nu _ { 0 }$ ，从a到b过程，根据机械能守恒
$$ m g h = \frac {1}{2} m v _ {0} ^ {2} $$
解得
$$ v _ {0} = 1 0 \mathrm{m/s} $$
在b点根据牛顿第二定律
$$ F _ {\mathrm{N}} - m g = m \frac {v _ {0} ^ {2}}{R} $$
解得
$$ F _ {\mathrm{N}} = 1 0 0 0 \mathrm{N} $$
根据牛顿第三定律得游客滑到b点时对滑梯的压力的大小为
$$ F _ {\mathrm{N}} ^ {\prime} = F _ {\mathrm{N}} = 1 0 0 0 \mathrm{N} $$
> ②设游客恰好滑上平台时的速度为v，在平台上运动过程由动能定理得
$$ - \mu m g s = 0 - \frac {1}{2} m v ^ {2} $$
解得
$$ \nu = 8 \mathrm{m/s} $$
根据题意当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，可知该过程游客一直做减速运动，滑板一直做加速运动，设加速度大小分别为 $a _ { 1 }$ 和 $a _ { 2 }$ ，得
$$ a _ {1} = \frac {\mu m g}{m} = \mu g = 2 \mathrm{m/s} ^ {2} $$
$$ a _ {2} = \frac {\mu m g}{M} = 4 \mathrm{m/s} ^ {2} $$
根据运动学规律对游客
$$ v = v _ {0} - a _ {1} t $$
解得
$$ t = 1 \mathrm{s} $$
该段时间内游客的位移为
$$ s _ {1} = \frac {v + v _ {0}}{2} t = 9 \mathrm{m} $$
滑板的位移为
$$ s _ {2} = \frac {1}{2} a _ {2} t ^ {2} = 2 \mathrm{m} $$
根据位移关系得滑板的长度为
$$ L = s _ {1} - s _ {2} = 7 \mathrm{m} $$