2023_北京卷
19. 已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 3 }$ ，A C分别是E的上、下顶点，B，D 分别是E的左、右顶点， $\mid A C \mid = 4$
（1）求E的方程；
②设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y = -2交于点N．求证： $M N / / C D$
(1) $\frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$; (2) 证明见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】① $\frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意得到 ${ \frac { c } { a } } = { \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } }$ ，2 4b= ，再结合 $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = b ^ { 2 }$ ，解之即可；
（2）依题意求得直线BC、PD与PA的方程，从而求得点M N, 的坐标，进而求得 $k _ { _ { M N } }$ ，再根据题意求得 $k _ { C D }$ ，得到 ${ { k } _ { { { M N } } } } = { { k } _ { C D } }$ ，由此得解.
【小问 1 详解】
依题意，得 $e = { \frac { c } { a } } = { \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } }$ ，则 $c = { \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } } a$
又A C, 分别为椭圆上下顶点， $\left| A C \right| = 4$ ，所以2 4b= ，即 $b = 2$
所以 $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = b ^ { 2 } = 4$ ，即 $a ^ { 2 } - { \frac { 5 } { 9 } } a ^ { 2 } = { \frac { 4 } { 9 } } a ^ { 2 } = 4$ ，则 $\boldsymbol a ^ { 2 } = 9$
所以椭圆E的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$
【小问2详解】
因为椭圆E的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ ，所以 $A \left( 0 , 2 \right) , C \left( 0 , - 2 \right) , B \left( - 3 , 0 \right) , D \left( 3 , 0 \right)$
因为P为第一象限E上的动点，设 $P \big ( m , n \big ) \big ( 0 < m < 3 , 0 < n < 2 \big )$ ，则 $\frac { m ^ { 2 } } { 9 } + \frac { n ^ { 2 } } { 4 } = 1$
易得 $k _ { _ { B C } } = \frac { 0 + 2 } { - 3 - 0 } = - \frac { 2 } { 3 }$ ，则直线BC的方程为 $y = - { \frac { 2 } { 3 } } x - 2$
$k _ { _ { P D } } = \frac { n - 0 } { m - 3 } = \frac { n } { m - 3 }$ ，则直线PD的方程为 $y = { \frac { n } { m - 3 } } { \big ( } x - 3 { \big ) }$
联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle y = - \frac { 2 } { 3 } x - 2 } \\ { \displaystyle y = \frac { n } { m - 3 } \big ( x - 3 \big ) } \end{array} \right.$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle x = \frac { 3 \left( 3 n - 2 m + 6 \right) } { 3 n + 2 m - 6 } } \\ { \displaystyle y = \frac { - 1 2 n } { 3 n + 2 m - 6 } } \end{array} \right.$ ，即 $M \left( \frac { 3 \left( 3 n - 2 m + 6 \right) } { 3 n + 2 m - 6 } , \frac { - 1 2 n } { 3 n + 2 m - 6 } \right)$
而 $k _ { _ { P A } } = \frac { n - 2 } { m - 0 } = \frac { n - 2 } { m }$ ，则直线PA的方程为 $y = { \frac { n - 2 } { m } } x + 2$
令 $y = - 2$ ，则 $- 2 = { \frac { n - 2 } { m } } x + 2$ ，解得 $x = \frac { - 4 m } { n - 2 }$ ，即 $N \left( \frac { - 4 m } { n - 2 } , - 2 \right)$
又 $\frac { m ^ { 2 } } { 9 } + \frac { n ^ { 2 } } { 4 } = 1$ ，则 $m ^ { 2 } = 9 - { \frac { 9 n ^ { 2 } } { 4 } } , 8 m ^ { 2 } = 7 2 - 1 8 n ^ { 2 }$
$$ \text {所以} k _ {M N} = \frac {\frac {- 1 2 n}{3 n + 2 m - 6} + 2}{\frac {3 (3 n - 2 m + 6)}{3 n + 2 m - 6} - \frac {- 4 m}{n - 2}} = \frac {(- 6 n + 4 m - 1 2) (n - 2)}{(9 n - 6 m + 1 8) (n - 2) + 4 m (3 n + 2 m - 6)} $$
$$ = \frac {- 6 n ^ {2} + 4 m n - 8 m + 2 4}{9 n ^ {2} + 8 m ^ {2} + 6 m n - 1 2 m - 3 6} = \frac {- 6 n ^ {2} + 4 m n - 8 m + 2 4}{9 n ^ {2} + 7 2 - 1 8 n ^ {2} + 6 m n - 1 2 m - 3 6} $$
$$ = \frac {- 6 n ^ {2} + 4 m n - 8 m + 2 4}{- 9 n ^ {2} + 6 m n - 1 2 m + 3 6} = \frac {2 \left(- 3 n ^ {2} + 2 m n - 4 m + 1 2\right)}{3 \left(- 3 n ^ {2} + 2 m n - 4 m + 1 2\right)} = \frac {2}{3}, $$
又 $k _ { _ { C D } } = \frac { 0 + 2 } { 3 - 0 } = \frac { 2 } { 3 }$ ，即 ${ { k } _ { M N } } = { { k } _ { C D } }$
显然，MN与CD不重合，所以 $M N / / C D$