（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P-A B C D 中…——2009 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
解：
**方法一**：（1）依题设知， AC 是所作球面的直径，则 $\mathrm{AM} \perp \mathrm{MC}$ 。
又因为 $\mathrm{PA} \perp$ 平面 ABCD ，则 $\mathrm{PA} \perp \mathrm{CD}$ ，又 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{AD}$ ，所以 $\mathrm{CD} \perp$ 平面 P A D ，则 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{AM}$ ，所以 $\mathrm{A} \mathrm{M} \perp$ 平面 PCD ，

所以平面 $\mathrm{ABM} \perp$ 平面 PCD 。
（2）由（1）知，$A M \perp P D$ ，又 $P A=A D$ ，则 $M$ 是 $P D$ 的中点可得
$A M=2 \sqrt{2}, ~ M C=\sqrt{M D^{2}+C D^{2}}=2 \sqrt{3}$
则 $S_{\triangle A C M} \frac{1}{2} A M \cdot M C=2 \sqrt{6}$
设 D 到平面 ACM 的距离为 $h$ ，由 $V_{D-A C M}=V_{M-A C D}$ 即 $2 \sqrt{6} h=8$ ，可求得 $h=\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，

设所求角为 $\theta$ ，则 $\sin \theta=\frac{h}{C D}=\frac{\sqrt{6}}{3}, \theta=\arcsin \frac{\sqrt{6}}{3}$ 。
（3）可求得 $\mathrm{PC}=6$ 。因为 $\mathrm{AN} \perp \mathrm{NC}$ ，由 $\frac{P N}{P A}=\frac{P A}{P C}$ ，得 $\mathrm{PN}=\frac{8}{3}$ 。所以 $N C: P C=5: 9$ 。
故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 $\frac{5}{9}$ 。
又因为 M 是 PD 的中点，则 $\mathrm{P} , \mathrm{D}$ 到平面 ACM 的距离相等，由（2）可知所求距离为 $\frac{5}{9} h=\frac{10 \sqrt{6}}{27}$ 。
**方法二**：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 $A(0,0,0), P(0,0,4)$ ， $B(2,0,0), C(2,4,0), D(0,4,0), M(0,2,2)$ ；设平面 $A C M$ 的一个法向量 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，由 $\vec{n} \perp \overrightarrow{A C}, \vec{n} \perp \overrightarrow{A M}$ 可得：$\left\{\begin{array}{l}2 x+4 y=0 \\ 2 y+2 z=0\end{array}\right.$ ，令 $z=1$ ，则
$\vec{n}=(2,-1,1)$ 。设所求角为 $\alpha$ ，则 $\sin \alpha=\left|\frac{\overrightarrow{C D} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{C D}||\vec{n}|}\right|=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

所以所求角的大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{6}}{3}$ 。
③由条件可得，$A N \perp N C$ 。在 Rt $\triangle P A C$ 中，$P A^{2}=P N \cdot P C$ ，所以 $P N=\frac{8}{3}$ ，则 $N C=P C-P N=\frac{10}{3}, \frac{N C}{P C}=\frac{5}{9}$ ，所以所求距离等于点 $P$ 到平面 $A C M$ 距离的 $\frac{5}{9}$ ，设点 $P$到平面 $A C M$ 距离为 $h$ 则 $h=\left|\frac{\overrightarrow{A P} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|}\right|=\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，所以所求距离为 $\frac{5}{9} \mathrm{~h}=\frac{10 \sqrt{6}}{27}$ 。