【答案】（ I ）$f(x)=5 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right) ;$（ II ）$\frac{\pi}{6}$ ．
【解析】（I）根据表中已知数据，解得 $A=5, \omega=2, \varphi=-\frac{\pi}{6}$ 。 数据补全如下表：
| $\omega x+\varphi$ | 0 | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $2 \pi$ |
|---|
| $x$ | $\frac{\pi}{12}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{7 \pi}{12}$ | $\frac{5 \pi}{6}$ | $\frac{13}{12} \pi$ |
| $A \sin (\omega x+\varphi)$ | 0 | 5 | 0 | -5 | 0 |
且函数表达式为 $f(x)=5 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ ．
（II）由（I ）知 $f(x)=5 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ ，得 $g(x)=5 \sin \left(2 x+2 \theta-\frac{\pi}{6}\right)$ ．
因为 $y=\sin x$ 的对称中心为 $(k \pi, 0), k \in \mathbf{Z}$ ．
今 $2 x+2 \theta-\frac{\pi}{6}=k \pi$ ，解得 $x=\frac{k \pi}{2}+\frac{\pi}{12}-\theta, k \in Z$ ．
由于函数 $y=g(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{5 \pi}{12}, 0\right)$ 成中心对称，令 $\frac{k \pi}{2}+\frac{\pi}{12}-\theta=\frac{5 \pi}{12}$ ，
解得 $\theta=\frac{k \pi}{2}-\frac{\pi}{3}, k \in \mathbf{Z}$ ．由 $\theta>0$ 可知，当 $k=1$ 时，$\theta$ 取得最小值 $\frac{\pi}{6}$ ．
【考点定位】＂五点法＂画函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．
【名师点睛】＂五点法＂描图：
①$y=\sin x$ 的图象在 $[0,2 \pi]$ 上的五个关键点的坐标为：$(0,0),\left(\frac{\pi}{2}, 1\right),(\pi, 0),\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right),(2 \pi, 0)$ ．
（2）$y=\cos x$ 的图象在 $[0,2 \pi]$ 上的五个关键点的坐标为：$(0,1),\left(\frac{\pi}{2}, 0\right),(\pi,-1),\left(\frac{3 \pi}{2}, 0\right),(2 \pi, 1)$ ．