已知圆锥的顶点为 P , 底面圆心为 O , AB 为底面…——2023 高考数学第 9 题答案解析

【答案】AC

【解析】

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断 A、B 选项的正确性，利用二面角的知识判断 C、D 选项的正确性.
【详解】依题意， $\angle APB=120^{\circ}$ ，PA=2，所以 $OP=1,OA=OB=\sqrt{3}$ ，
A 选项，圆锥的体积为 $\frac{1}{3}\times\pi\times\left(\sqrt{3}\right)^{2}\times1=\pi$ ，A 选项正确；
B 选项，圆锥的侧面积为 $\pi\times\sqrt{3}\times2=2\sqrt{3}\pi$ ，B 选项错误；
C 选项，设 D 是 AC 的中点，连接 OD, PD，
则 $AC \perp OD, AC \perp PD$ ，所以 $\angle PDO$ 是二面角 P - AC - O 的平面角，
则 $\angle PDO = 45^{\circ}$ ，所以 OP = OD = 1，
故 $AD = CD = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}$ ，则 $AC = 2\sqrt{2}$ ，C 选项正确；
D 选项， $PD = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ ，所以 $S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ ，D 选项错误。
故选：AC.