( x + 3 x ^ 2 ) ^ 5 的展开式中的常数项为——2022 高考数学第 11 题答案解析

【答案】15

【解析】

【分析】由题意结合二项式定理可得 $\left( { \sqrt { x } } + { \frac { 3 } { x ^ { 2 } } } \right) ^ { 5 }$ 的展开式的通项为 $T _ { r + 1 } = C _ { 5 } ^ { r } \cdot 3 ^ { r } \cdot x ^ { \frac { 5 - 5 r } { 2 } }$ ，令 $\frac { 5 - 5 r } { 2 } = 0$ ，代入即可得解.

【详解】由题意 $\left( { \sqrt { x } } + { \frac { 3 } { x ^ { 2 } } } \right) ^ { 5 }$ 的展开式的通项为 $T _ { r + 1 } = C _ { 5 } ^ { r } \cdot \left( \sqrt { x } \right) ^ { 5 - r } \cdot \left( \frac { 3 } { x ^ { 2 } } \right) ^ { r } = C _ { 5 } ^ { r } \cdot 3 ^ { r } \cdot x ^ { \frac { 5 - 5 r } { 2 } }$

令 $\frac { 5 - 5 r } { 2 } = 0$ 即 $r = 1$ ，则 $C _ { 5 } ^ { r } \cdot 3 ^ { r } = C _ { 5 } ^ { 1 } \cdot 3 = 1 5$

所以 $\left( { \sqrt { x } } + { \frac { 3 } { x ^ { 2 } } } \right) ^ { 5 }$ 展开式中的常数项为15.的

故答案为：15.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.