（本小题共14分） 如图，在三棱锥 P-A B C 中，…——2008 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（共14分）
解法一：
（ I ）取 $A B$ 中点 $D$ ，连结 $P D, C D$ ．
$\because A P=B P$ ，
$\therefore P D \perp A B$ ．

$\because A C=B C$ ，
$\therefore C D \perp A B$ ．
$\because P D \cap C D=D$,
$\therefore A B \perp$ 平面 $P C D$ ．
$\because P C \subset$ 平面 $P C D$ ，
$\therefore P C \perp A B$ ．
（II）$\because A C=B C, \quad A P=B P$ ，
$\therefore \triangle A P C \cong \triangle B P C$ ．
又 $P C \perp A C$ ，

$\therefore P C \perp B C$ ．
又 $\angle A C B=90^{\circ}$ ，即 $A C \perp B C$ ，且 $A C \cap P C=C$ ，
$\therefore B C \perp$ 平面 $P A C$ ．
取 $A P$ 中点 $E$ ．连结 $B E, C E$ ．
$\because A B=B P, \quad \therefore B E \perp A P$ 。
$\because E C$ 是 $B E$ 在平面 $P A C$ 内的射影，
$\therefore C E \perp A P$ ．
$\therefore \angle B E C$ 是二面角 $B-A P-C$ 的平面角．
在 $\triangle B C E$ 中，$\angle B C E=90^{\circ}, B C=2, B E=\frac{\sqrt{3}}{2} A B=\sqrt{6}$ ，
$\therefore \sin \angle B E C=\frac{B C}{B E}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
∴ 二面角 $B-A P-C$ 的大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
（III）由（I）知 $A B \perp$ 平面 $P C D$ ，
∴ 平面 $A P B \perp$ 平面 $P C D$ ．
过 $C$ 作 $C H \perp P D$ ，垂足为 $H$ ．
∵ 平面 $A P B \bigcap$ 平面 $P C D=P D$ ，
$\therefore C H \perp$ 平面 $A P B$ ．

$\therefore C H$ 的长即为点 $C$ 到平面 $A P B$ 的距离．
由（I）知 $P C \perp A B$ ，又 $P C \perp A C$ ，且 $A B \cap A C=A$ ，
$\therefore P C \perp$ 平面 $A B C$ ．
$\because C D \subset$ 平面 $A B C$ ，
$\therefore P C \perp C D$ ．
在 Rt $\triangle P C D$ 中，$C D=\frac{1}{2} A B=\sqrt{2}, P D=\frac{\sqrt{3}}{2} P B=\sqrt{6}$ ，
$\therefore P C=\sqrt{P D^{2}-C D^{2}}=2$ ．
$\therefore C H=\frac{P C \cdot C D}{P D}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

∴ 点 $C$ 到平面 $A P B$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．
解法二：
（ I ）$\because A C=B C, \quad A P=B P$ ，
$\therefore \triangle A P C \cong \triangle B P C$ ．
又 $P C \perp A C$ ，
$\therefore P C \perp B C$ ．
$\because A C \cap B C=C$ ，
$\therefore P C \perp$ 平面 $A B C$ ．
$\because A B \subset$ 平面 $A B C$ ，
$\therefore P C \perp A B$ ．
（II）如图，以 $C$ 为原点建立空间直角坐标系 $C-x y z$ 。

则 $C(0,0,0), A(0,2,0), B(2,0,0)$ ．

设 $P(0,0, t)$ ．
$\because|P B|=|A B|=2 \sqrt{2}$ ，
$\therefore t=2, \quad P(0,0,2)$ ．
取 $A P$ 中点 $E$ ，连结 $B E, C E$ ．

$\because|A C|=|P C|,|A B|=|B P|$ ，
$\therefore C E \perp A P, B E \perp A P$ ．
$\therefore \angle B E C$ 是二面角 $B-A P-C$ 的平面角．
$\because E(0,1,1), \quad \overrightarrow{E C}=(0,-1,-1), \quad \overrightarrow{E B}=(2,-1,-1)$ ，
$\therefore \cos \angle B E C=\frac{\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E B}}{|\overrightarrow{E C}| \cdot|\overrightarrow{E B}|}=\frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
∴ 二面角 $B-A P-C$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
（III）$\because A C=B C=P C$ ，
$\therefore C$ 在平面 $A P B$ 内的射影为正 $\triangle A P B$ 的中心 $H$ ，且 $C H$ 的长为点 $C$ 到平面 $A P B$ 的距离

如（II）建立空间直角坐标系 $C-x y z$ 。
$\because \overrightarrow{B H}=2 \overrightarrow{H E}$,
∴ 点 $H$ 的坐标为 $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ．

$\therefore|\overrightarrow{C H}|=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．
∴ 点 $C$ 到平面 $A P B$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．