2008 北京卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

2．若 $a=2^{0.5}, b=\log _{\pi} 3, c=\log _{2} \sin \frac{2 \pi}{5}$ ，则（ ）

3．＂函数 $f(x)(x \in \mathbf{R})$ 存在反函数＂是＂函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数＂的（ ）

4．若点 $P$ 到直线 $x=-1$ 的距离比它到点 $(2,0)$ 的距离小 1 ，则点 $P$ 的轨迹为（）

5．若实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0, \\ x+y \geqslant 0, \\ x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $z=3^{x+2 y}$ 的最小值是

6．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 对任意的 $p, q \in \mathbf{N}^{*}$ 满足 $a_{p+q}=a_{p}+a_{q}$ ，且 $a_{2}=-6$ ，那么 $a_{10}$ 等于 ）

7．过直线 $y=x$ 上的一点作圆 $(x-5)^{2}+(y-1)^{2}=2$ 的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，当直线 $l_{1}, l_{2}$ 关于 $y=x$ 对称时，它们之间的夹角为（ ）

8．如图，动点 $P$ 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上．过点 $P$ 作垂直于平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的直线，与正方体表面相交于 $M, N$ 。设 $B P=x, M N=y$ ，则函数 $y=f(x)$的图象大致是（）   

9．已知 $(a-i)^{2}=2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，那么实数 $a=$ $\_\_\_\_$。

10．已知向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，且 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=4$ ，那么 $\boldsymbol{b} \bullet(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

11．若 $\left(x^{2}+\frac{1}{x^{3}}\right)^{n}$ 展开式的各项系数之和为 32 ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ，其展开式中的常数项为 －（用数字作答）

12．如图，函数 $f(x)$ 的图象是折线段 $A B C$ ，其中 $A, B, C$ 的坐标分别为 $(0,4),(2,0),(6,4)$ ，则 $f(f(0))=$ $\_\_\_\_$ ；  $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=$ $\_\_\_\_$ －（用数字作答）

13．已知函数 $f(x)=x^{2}-\cos x$ ，对于 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的任意 $x_{1}, x_{2}$ ，有如下条件： （1）$x_{1}>x_{2}$ ； ②$x_{1}^{2}>x_{2}^{2}$ ； ③$\left|x_{1}\right|>x_{2}$ ． 其中能使 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$ 恒成立的条件序号是 $\_\_\_\_$ ．

14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 $k$ 棵树种植在点 $P_{k}\left(x_{k}, y_{k}\right)$ 处，其中 $x_{1}=1, y_{1}=1$ ，当 $k \geqslant 2$ 时， $ \left\{\begin{array}{l} x_{k}=x_{k-1}+1-5\left[T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right)\right] \\ y_{k}=y_{k-1}+T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right) \end{array}\right. $ $T(a)$ 表示非负实数 $a$ 的整数部分，例如 $T(2.6)=2, T(0.2)=0$ ． 按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 $\_\_\_\_$ ；第2008棵树种植点的坐标应为 $\_\_\_\_$。

15．（本小题共 13 分） 已知函数 $f(x)=\sin ^{2} \omega x+\sqrt{3} \sin \omega x \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ ． （I）求 $\omega$ 的值； （II）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的取值范围．

16．（本小题共14分） 如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A C=B C=2, \angle A C B=90^{\circ}, A P=B P=A B$ ， $P C \perp A C$ ． （I）求证：$P C \perp A B$ ； （II）求二面角 $B-A P-C$ 的大小； （III）求点 $C$ 到平面 $A P B$ 的距离． 

17．（本小题共13分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 $A, B, C, D$ 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。 （I）求甲、乙两人同时参加 $A$ 岗位服务的概率； （II）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （III）设随机变量 $\xi$ 为这五名志愿者中参加 $A$ 岗位服务的人数，求 $\xi$ 的分布列．

18．（本小题共13分） 已知函数 $f(x)=\frac{2 x-b}{(x-1)^{2}}$ ，求导函数 $f^{\prime}(x)$ ，并确定 $f(x)$ 的单调区间．

19．（本小题共14分） 已知菱形 $A B C D$ 的顶点 $A, C$ 在椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=4$ 上，对角线 $B D$ 所在直线的斜率为 1 ． （I）当直线 $B D$ 过点 $(0,1)$ 时，求直线 $A C$ 的方程； （II）当 $\angle A B C=60^{\circ}$ 时，求菱形 $A B C D$ 面积的最大值．

20．（本小题共13分） 对于每项均是正整数的数列 $A: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，定义变换 $T_{1}, T_{1}$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T_{1}(A): n, \quad a_{1}-1, \quad a_{2}-1, \cdots, \quad a_{n}-1$. 对于每项均是非负整数的数列 $B: b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m}$ ，定义变换 $T_{2}, T_{2}$ 将数列 $B$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2}(B)$ ； 又定义 $S(B)=2\left(b_{1}+2 b_{2}+\cdots+m b_{m}\right)+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{m}^{2}$ ． 设 $A_{0}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $A_{k+1}=T_{2}\left(T_{1}\left(A_{k}\right)\right)(k=0,1,2, \cdots)$ ． （I）如果数列 $A_{0}$ 为 $5,3,2$ ，写出数列 $A_{1}, A_{2}$ ； （II）对于每项均是正整数的有穷数列 $A$ ，证明 $S\left(T_{1}(A)\right)=S(A)$ ； （III）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 $A_{0}$ ，存在正整数 $K$ ，当 $k \geqslant K$时，$S\left(A_{k+1}\right)=S\left(A_{k}\right)$ ．