（本题满分12分） 如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【答案】 $V _ { O - A B C } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ; S _ { O - A B C } = 3 \sqrt { 3 }$

【解析】三棱锥O-ABC的体积 $\left[ \right. V _ { O - A B C } = \frac { 1 } { 3 } \cdot S _ { \Delta A B C } \cdot 1 = \frac { 1 } { 3 } \cdot \sqrt { 3 }$ 设O在面ABC中的射影为Q,BC的中点为E,则OQ=1, $\ Q E = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，在 $R T \Delta O Q E$ 中$, O E ^ { 2 } = O Q ^ { 2 } + E Q ^ { 2 } \Rightarrow 1 ^ { 2 } + ( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ) ^ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } \Rightarrow O E = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } }$ 三棱锥O-ABC的表面积 ${ \cal S } _ { \scriptscriptstyle { O - A B C } } = 3 S _ { \scriptscriptstyle { \Delta O B C } } + S _ { \scriptscriptstyle { \Delta A B C } } = 3 \cdot \frac { B C } { 2 } \cdot O E + \sqrt { 3 } = 3 \sqrt { 3 }$ 所以， 三棱锥O-ABC的体积 $\mathrm { ~ \ ~ } , V _ { O - A B C } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ,表面积 $\ U \ U _ { O - A B C } = 3 \sqrt { 3 }$