2017_省自主命题（山东）
16．（12分）设函数f $( x ) = \sin ( \omega x - \frac { \pi } { 6 } ) + \sin ( \omega x - \frac { \pi } { 2 } )$ ，其中 $\scriptstyle 1 0 < \omega < 3$ 已知f $( { \frac { \pi } { 6 } } ) \ { \ = } 0$
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\frac { \pi } { 4 }$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[$- ~ \frac { \pi } { 4 } , ~ \frac { 3 \pi } { 4 } ]$ 上的最小值
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
（12分）（2017•山东）设函数f $( x ) = \sin ( \omega x - \frac { \pi } { 6 } ) + \sin ( \omega x - \frac { \pi } { 2 } )$ ，其中 $\phantom { + } 0 { < } \omega { < } 3$ ，已知f $( { \frac { \pi } { 6 } } ) \ { \ = } 0$
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\frac { \pi } { 4 }$ 个单位，得到函数 $\bf \dot { y } { = } g _ { \alpha } \left( \bf \Phi \times \right)$ 的图象，求g（x）在[
$- ~ \frac { \pi } { 4 } , ~ \frac { 3 \pi } { 4 } ]$ 上的最小值
【解答】解：（Ⅰ）函数f $( x ) = \sin ( \omega x - \frac { \pi } { 6 } ) + \sin ( \omega x - \frac { \pi } { 2 } )$
$$ { \mathsf { \Gamma } } = { \mathsf { s i n } } \omega \times { \mathsf { c o s } } { \frac { \pi } { 6 } } - { \mathsf { c o s } } \omega \times { \mathsf { s i n } } { \frac { \pi } { 6 } } - { \mathsf { s i n } } \ ( { \frac { \pi } { 2 } } - \omega \times ) $$
$$ = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \sin \omega x - \frac { 3 } { 2 } \cos \omega x $$
$$ = \sqrt { 3 } \sin ( w x - \frac { \pi } { 3 } ) $$
又f $( \frac { \pi } { 6 } ) = \sqrt { 3 } \sin ( \frac { \pi } { 6 } \omega - \frac { \pi } { 3 } ) = 0 ,$
$$ \therefore \frac { \pi } { 6 } w - \frac { \pi } { 3 } = k \pi , k \in Z , $$
解得 $\omega = 6 k + 2$
又 $\phantom { + } 0 { < } \omega { < } 3$
$\therefore \omega = 2 :$
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ${ \textbf { \textsf { f } } } ( { \textbf { \textsf { x } } } ) = { \sqrt { 3 } } { \sin { \ ( 2 { \times } \ - \ { \frac { \pi } { 3 } } ) } }$
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = \sqrt { 3 } \sin ( x - \frac { \pi } { 3 } )$ 的图象；
再将得到的图象向左平移 $\frac { \pi } { 4 }$ 个单位，得到 $y = \sqrt { 3 } \sin ( x + \frac { \pi } { 4 } - \frac { \pi } { 3 } )$ 的图象，
∴函数 $\mathsf { y } { = } \mathsf { g } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ x ~ ) ~ } } = \sqrt { 3 } \mathsf { s i n } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ x ~ - ~ \frac { ~ \pi ~ } { ~ 1 2 } ~ ) ~ } }$ ；
当 $\mathsf { x } \in [ - \frac { \pi } { 4 } , \frac { 3 \pi } { 4 } ]$ ]时， $\mathsf { x } - \frac { \pi } { 1 2 } \in [ - \frac { \pi } { 3 } , ~ \frac { 2 \pi } { 3 } ]$
$$ \therefore \sin ( x - \frac { \pi } { 1 2 } ) \in [ - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 1 ] $$
∴当 $x = - \frac { \pi } { 4 }$ 时， ${ \textbf { \textsf { g } } } ( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } )$ 取得最小值是 $- \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \times \sqrt { 3 } = - \frac { 3 } { 2 }$