【答案】（1） $a _ { n } = 2 n - 1 , b _ { n } = 2 ^ { n - 1 }$
（2）证明见解析 ③ $\frac { ( 3 \mathrm { n - 1 } ) 4 ^ { n + 2 } + 1 6 } { 9 }$
【解析】
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
> ②由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 $\begin{array} { r } { \left[ a _ { 2 k } - ( - 1 ) ^ { 2 k - 1 } a _ { 2 k - 1 } \right] b _ { 2 k - 1 } + \left[ a _ { 2 k + 1 } - ( - 1 ) ^ { 2 k } a _ { 2 k } \right] b _ { 2 k } } \end{array}$ ，进而由并项求和可得 $T _ { n } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } k \cdot 4 ^ { k + 1 }$ 再结合错位相减法可得解.
【小问 1 详解】
设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 公差为 $d , \left\{ b _ { n } \right\}$ <sub>公比为</sub>q<sub>，则</sub> $a _ { n } = 1 + ( n - 1 ) d , b _ { n } = q ^ { n - 1 }$
由 $a _ { 2 } - b _ { 2 } = a _ { 3 } - b _ { 3 } = 1$ 可得 $\left\{ \begin{array} { l } { { 1 + d - q = 1 } } \\ { { 1 + 2 d - q ^ { 2 } = 1 } } \end{array} \right. \Rightarrow d = q = 2 ( d = q = 0$ 舍去），
所以 $a _ { n } = 2 n - 1 , b _ { n } = 2 ^ { n - 1 }$
【小问2详解】
证明：因为 $b _ { n + 1 } = 2 b _ { n } \neq 0 .$ ,所以要证 $( S _ { n + 1 } + a _ { n + 1 } ) b _ { n } = S _ { n + 1 } b _ { n + 1 } - S _ { n } b _ { n }$
即证 $( S _ { n + 1 } + a _ { n + 1 } ) b _ { n } = S _ { n + 1 } \cdot 2 b _ { n } - S _ { n } b _ { n }$ ，即证 $S _ { n + 1 } + a _ { n + 1 } = 2 S _ { n + 1 } - S _ { n }$
即证 $a _ { n + 1 } = S _ { n + 1 } - S _ { n }$
而 $a _ { n + 1 } = S _ { n + 1 } - S _ { n }$ 显然成立，所以 $( S _ { n + 1 } + a _ { n + 1 } ) b _ { n } = S _ { n + 1 } \cdot b _ { n + 1 } - S _ { n } \cdot b _ { n }$ ；
【小问3详解】
因为 $[ \overline { { { a } } } _ { 2 k } - ( - 1 ) ^ { 2 k - 1 } a _ { 2 k - 1 } ] b _ { 2 k - 1 } + \overline { { { \lfloor } } } a _ { 2 k + 1 } - ( - 1 ) ^ { 2 k } a _ { 2 k } \overline { { { \rfloor } } } b _ { 2 k }$
$$
= (4 k - 1 + 4 k - 3) \times 2 ^ {2 k - 1} + [ 4 k + 1 - (4 k - 1) ] \times 2 ^ {2 k} = k \times 4 ^ {k + 1},
$$
所以 $\sum _ { k = 1 } ^ { 2 n } \Bigl [ a _ { k + 1 } - ( - 1 ) ^ { k } a _ { k } \Bigr ] b _ { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } [ ( a _ { 2 k } - ( - 1 ) ^ { 2 k - 1 } a _ { 2 k - 1 } ) b _ { 2 k - 1 } + ( a _ { 2 k + 1 } - ( - 1 ) ^ { 2 k } a _ { 2 k } ) b _ { 2 k } ]$ $= \sum _ { k = 1 } ^ { n } k \times 4 ^ { k + 1 }$
设 $T _ { n } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } k \cdot 4 ^ { k + 1 }$
所以 $T _ { n } = 1 \times 4 ^ { 2 } + 2 \times 4 ^ { 3 } + 3 \times 4 ^ { 4 } + \cdots + n \times 4 ^ { n + 1 }$
则 $4 T _ { n } = 1 \times 4 ^ { 3 } + 2 \times 4 ^ { 4 } + 3 \times 4 ^ { 5 } + \cdots + n \times 4 ^ { n + 2 }$
作差得 $- 3 { \cal T } _ { n } = 4 ^ { 2 } + 4 ^ { 3 } + 4 ^ { 4 } + \cdots + 4 ^ { n + 1 } - n \times 4 ^ { n + 2 } = \frac { 4 ^ { 2 } ( 1 - 4 ^ { n } ) } { 1 - 4 } - n \times 4 ^ { n + 2 }$
$$
= \frac {(1 - 3 n) 4 ^ {n + 2} - 1 6}{3}
$$
所以 $T _ { n } = { \frac { ( 3 n - 1 ) 4 ^ { n + 2 } + 1 6 } { 9 } }$
所以 $\sum _ { k = 1 } ^ { 2 n } \Bigl [ a _ { k + 1 } - ( - 1 ) ^ { k } a _ { k } \Bigr ] b _ { k } = { \frac { ( 3 { \mathrm { n } } - 1 ) 4 ^ { n + 2 } + 1 6 } { 9 } }$