2013_江苏卷 (2013)
19、（本小题满分 16 分）
设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是首项为 $a$ 、公差为 $d$ 的等差数列 $(d \neq 0), S_{n}$ 为其前 $n$ 项和。记 $b_{n}=\frac{n S_{n}}{n^{2}+c}, n \in N^{*}$ ，其中 c 为实数。
（1）若 $\mathrm{c}=0$ ，且 $b_{1}, b_{2}, b_{4}$ 成等比数列，证明：$S_{n k}=n^{2} S_{k}\left(n, k \in N^{*}\right)$
（2）若 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 为等差数列，证明： $\mathrm{c}=0$ 。
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
证：（1）若 $c=0$ ，则 $a_{n}=a+(n-1) d, S_{n}=\frac{n[(n-1) d+2 a]}{2}, b_{n}=\frac{(n-1) d+2 a}{2}$ ．
当 $b_{1}, b_{2}, b_{4}$ 成等比数列，$b_{2}^{2}=b_{1} b_{4}$ ，
即：$\left(a+\frac{d}{2}\right)^{2}=a\left(a+\frac{3 d}{2}\right)$ ，得：$d^{2}=2 a d$ ，又 $d \neq 0$ ，故 $d=2 a$ ．
由此：$S_{n}=n^{2} a, S_{n k}=(n k)^{2} a=n^{2} k^{2} a, n^{2} S_{k}=n^{2} k^{2} a$ ．
故：$S_{n k}=n^{2} S_{k}\left(k, n \in N^{*}\right)$ ．
> ②$b_{n}=\frac{n S_{n}}{n^{2}+c}=\frac{n^{2} \frac{(n-1) d+2 a}{2}}{n^{2}+c}$ ，
$$ \begin{aligned} & =\frac{n^{2} \frac{(n-1) d+2 a}{2}+c \frac{(n-1) d+2 a}{2}-c \frac{(n-1) d+2 a}{2}}{n^{2}+c} \\ & =\frac{(n-1) d+2 a}{2}-\frac{c \frac{(n-1) d+2 a}{2}}{n^{2}+c} . \end{aligned} $$
若 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，则 $b_{n}=A n+B n$ 型．
观察（※）式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：$\frac{c \frac{(n-1) d+2 a}{2}}{n^{2}+c}=0$ ，即 $c \frac{(n-1) d+2 a}{2}=0$ ，而 $\frac{(n-1) d+2 a}{2} \neq 0$ ，
故 $c=0$ ．
经检验，当 $c=0$ 时 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列．