（本小题满分 16 分） 设 a _ n 是首项为 a、公…——2013 高考数学第 18 题答案解析

（1）当 $c=0$ 时，由题意得 $b_{n}=\frac{n S_{n}}{n^{2}}=\frac{S_{n}}{n}$。
因为 $\{a_n\}$ 是等差数列，所以 $S_n = na + \frac{n(n-1)}{2}d$，则 $b_n = a + \frac{n-1}{2}d$。
由此可得：
$b_1 = a$，
$b_2 = a + \frac{d}{2}$，
$b_4 = a + \frac{3d}{2}$。
因为 $b_1, b_2, b_4$ 成等比数列，所以 $b_2^2 = b_1 b_4$，
即 $\left(a + \frac{d}{2}\right)^2 = a\left(a + \frac{3d}{2}\right)$。
展开整理得：$a^2 + ad + \frac{d^2}{4} = a^2 + \frac{3}{2}ad$，
化简得 $\frac{d^2}{4} = \frac{ad}{2}$，即 $d^2 = 2ad$。
已知 $d \neq 0$，两边同除以 $d$ 得 $d = 2a$。
将 $d=2a$ 代入 $S_n$ 的公式：
$S_n = na + \frac{n(n-1)}{2}(2a) = na + n(n-1)a = na(1 + n - 1) = n^2 a$。
对于任意 $n, k \in N^*$，
左边 $S_{nk} = (nk)^2 a = n^2 k^2 a$，
右边 $n^2 S_k = n^2 (k^2 a) = n^2 k^2 a$。
所以 $S_{nk} = n^2 S_k$ 成立。

（2）若 $\{b_n\}$ 为等差数列，设其公差为 $\delta$，则 $b_n$ 关于 $n$ 的表达式应为一次函数形式（或常数）。
由定义 $b_n = \frac{n S_n}{n^2+c} = \frac{n\left[na + \frac{n(n-1)}{2}d\right]}{n^2+c} = \frac{n^2\left[a + \frac{(n-1)d}{2}\right]}{n^2+c}$。
整理分子：$n^2\left(\frac{d}{2}n + a - \frac{d}{2}\right) = \frac{d}{2}n^3 + \left(a-\frac{d}{2}\right)n^2$。
所以 $b_n = \frac{\frac{d}{2}n^3 + \left(a-\frac{d}{2}\right)n^2}{n^2+c}$。
利用多项式除法分离整数部分：
$b_n = \frac{\frac{d}{2}n(n^2+c) - \frac{cd}{2}n + \left(a-\frac{d}{2}\right)n^2}{n^2+c} = \frac{d}{2}n + \frac{\left(a-\frac{d}{2}\right)n^2 - \frac{cd}{2}n}{n^2+c}$。
要使 $\{b_n\}$ 为等差数列，上述表达式中随 $n$ 变化的非一次项部分必须消失或合并为一次项。
观察分式部分 $f(n) = \frac{\left(a-\frac{d}{2}\right)n^2 - \frac{cd}{2}n}{n^2+c}$。
若 $c \neq 0$，当 $n \to \infty$ 时，$f(n) \to a-\frac{d}{2}$（常数），但其在有限项内的变化规律并非线性（除非分子分母成比例且消去二次项，但这要求特定系数关系且通常无法对所有 $n$ 保持线性增量）。
更严谨地，若 $\{b_n\}$ 是等差数列，则 $2b_2 = b_1 + b_3$ 且 $2b_3 = b_2 + b_4$ 等恒成立。
或者直接考察 $b_n$ 的结构：
$b_n = \frac{d}{2}n + \frac{(2a-d)n^2 - cd n}{2(n^2+c)}$。
若 $c \neq 0$，分式项 $\frac{(2a-d)n^2 - cd n}{2(n^2+c)}$ 不是关于 $n$ 的一次函数（其导数或差分不为常数），这将导致 $b_n$ 整体不是关于 $n$ 的一次函数，从而 $\{b_n\}$ 不是等差数列。
唯一使分式项恒为 0 或退化为常数的情况是分子恒为 0 或分母不影响线性性质。
若分子恒为 0，则需 $2a-d=0$ 且 $cd=0$。因 $d \neq 0$，故 $c=0$。此时 $d=2a$，分式项为 0，$b_n = \frac{d}{2}n = an$，是等差数列。
若 $c \neq 0$，即使 $2a-d=0$，分式项变为 $\frac{-cdn}{2(n^2+c)}$，这不是线性的。
因此，必须有 $c=0$。
当 $c=0$ 时，$b_n = \frac{n S_n}{n^2} = \frac{S_n}{n} = a + \frac{n-1}{2}d = \frac{d}{2}n + (a-\frac{d}{2})$，这是关于 $n$ 的一次函数，确为等差数列。
综上所述，若 $\{b_n\}$ 为等差数列，必有 $c=0$。