（本小题满分 13 分） 已知平面内一动点 P 到点 F(…——2011 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（2011•湖南）已知平面内一动点 $P$ 到点 $F(1,0)$ 的距离与点 $P$ 到 $y$ 轴的距离的差等于 1 ．
（I）求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（II）过点 $F$ 作两条斜率存在且互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与轨迹 $C$ 相交于点 $A, B, l_{2}$ 与轨迹 $C$相交于点 $D, E$ ，求 $\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{E B}$ 的最小值．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；抛物线的定义。
专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论；函数思想；方程思想。
分析：（I）设动点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ ，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程 ，并化解即可求得动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（II）设出直线 $l_{1}$ 的方程，理想直线和抛物线的方程，消去 $y$ ，得到关于 $x$ 的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线 $l_{2}$ 的方程与抛物线的交点坐标，代入 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{E B}$ 利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．

解答：解：（I）设动点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ ，由题意得 $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}-|x|=1$ ，化简得 $y^{2}=2 x+2|x|$ ．

当 $x \geqslant 0$ 时，$y^{2}=4 x$ ；当 $x<0$ 时，$y=0$ ，
所以动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程为 $y^{2}=4(x \geqslant 0)$ 和 $y=0(x<0)$ ．
（II）由题意知，直线 $l_{1}$ 的斜率存在且不为零，设为 $k$ ，则 $l_{1}$ 的的方程为 $y=k(x-1)$ ．

由 $\left\{\begin{array}{c}y=k(x-1) \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ ，得 $k^{2} x^{2}-\left(2 k^{2}+4\right) x+k^{2}=0$ ．
设 $A, B$ 的坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $x_{1}+x_{2}=2+\frac{4}{k^{2}}, x_{1} x_{2}=1$ ．
$\because l_{1} \perp l_{2}$ ，∴ 直线 $l_{2}$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$ ．
设 $D\left(x_{3}, y_{3}\right), E\left(x_{4}, y_{4}\right)$ ，则同理可得 $x_{3}+x_{4}=2+4 k^{2}, x_{3} x_{4}=1$ ．

故 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{E B}=(\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F D}) \cdot(\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{F B})=\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{E F}+\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F D} \cdot \overrightarrow{E F}+\overrightarrow{F D} \cdot \overrightarrow{F B}$
$=|\overrightarrow{A F}| \cdot|\overrightarrow{F B}|+|\overrightarrow{F D}| \cdot|\overrightarrow{E F}|=\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)+\left(x_{3}+1\right)\left(x_{4}+1\right)$
$=x_{1} x_{2}+\left(x_{1}+x_{2}\right)+1+x_{3} x_{4}+x_{3}+x_{4}+1$
$1+2+\frac{4}{k^{2}}+1+1+2+4 k^{2}+1=8+4\left(k^{2}+\frac{1}{k^{2}}\right) \geqslant 8+4 \times 2=16$,
当且仅当 $k^{2}=\frac{1}{k^{2}}$ ，即 $k= \pm 1$ 时， $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{E B}$ 的最小值为 16 ．
点评：此题是个难题．考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．