A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b…——2020 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①$\sqrt{3}$ ；② $15^{\circ}$ ．
【解析】
【分析】
（1）已知角 $B$ 和 $b$ 边，结合 $a, c$ 关系，由余弦定理建立 $c$ 的方程，求解得出 $a, c$ ，利用面积公式，即可得出结论；

（2）将 $A=30^{\circ}-C$ 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关 $C$ 角的三角函数值，结合 $C$ 的范围，即可求解．

【详解】①由余弦定理可得 $b^{2}=28=a^{2}+c^{2}-2 a c \cdot \cos 150^{\circ}=7 c^{2}$ ，
$\therefore c=2, a=2 \sqrt{3}, \therefore \triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} a c \sin B=\sqrt{3}$ ；
②$\because A+C=30^{\circ}$ ，
$\therefore \sin A+\sqrt{3} \sin C=\sin \left(30^{\circ}-C\right)+\sqrt{3} \sin C$
$=\frac{1}{2} \cos C+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin C=\sin \left(C+30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
$\because 0^{\circ}$\therefore C+30^{\circ}=45^{\circ}, \therefore C=15^{\circ}$ ．
【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．