（5分）已知 H 是球 O 的直径 A B 上一点， A…——2013 高考数学第 15 题答案解析

【考点】LG：球的体积和表面积．
【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为 $R$ ，根据题意知由与球心距离为 $\frac{1}{3} R$ 的平面截球所得的截面圆的面积是 $\pi$ ，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为 $R, \because A H: H B=1: 2, \therefore$ 平面 $\alpha$ 与球心的距离为 $\frac{1}{3} R$ ，
$\because \alpha$ 截球 $O$ 所得截面的面积为 $\pi$ ，
$\therefore \mathrm{d}=\frac{1}{3} \mathrm{R}$ 时，$r=1$ ，
故由 $R^{2}=r^{2}+d^{2}$ 得 $R^{2}=1^{2}+\left(\frac{1}{3} R\right)^{2}, \quad \therefore R^{2}=\frac{9}{8}$
∴ 球的表面积 $S=4 \pi R^{2}=\frac{9 \pi}{2}$ ．
故答案为：$\frac{9 \pi}{2}$ ．
【点评】若球的截面圆半径为 $r$ ，球心距为 $d$ ，球半径为 $R$ ，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即 $\mathrm{R}^{2}=\mathrm{r}^{2}+\mathrm{d}^{2}$