设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间…——2012 高考数学第 10 题答案解析

【解答】
（5分）（2012•江苏）设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 $[-1,1]$ 上， $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x+1,-1 \leqslant x<0 \\ \frac{b x+2}{x+1}, 0 \leqslant x \leqslant 1\end{array}\right.$ 其中 $a, b \in R$ ．若 $f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ ，则 $a+3 b$ 的值为＿
$\_\_\_\_$ ．

考点 函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．

专题 函数的性质及应用．

分析 由于 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为 2 的函数，由 $f(x)$ 的表达式可得 $f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right) =1-a=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{b+4}{3}$ ；再由 $f(-1)=f(1)$ 得 $2 a+b=0$ ，解关于 $a, b$ 的方程组可得到 $a$ ，$b$ 的值，从而得到答案。
解答
： 解：$\because f(x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为 2 的函数，$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a x+1, & -1 \leqslant x<0 \\ \frac{b x+2}{x+1}, & 0 \leqslant x \leqslant 1\end{array}\right.$,

$$ \therefore \mathrm{f}\left(\frac{3}{2}\right)=\mathrm{f}\left(-\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2} \mathrm{a}, \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\mathrm{b}+4}{3} \text {; 又 } \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{3}{2}\right) \text {, } $$

又 $\mathrm{f}(-1)=\mathrm{f}(1)$ ，
$\therefore 2 \mathrm{a}+\mathrm{b}=0$ ，②
由①②解得 $\mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=-4$ ；
$\therefore a+3 b=-10$ ．
故答案为：－ 10 ．
点评 本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得 ：到 $a$ ，$b$ 的方程组并求得 $a$ ，$b$ 的值是关键，属于中档题。