（5分）已知 E、 F 分别在正方体 A B C D-A_…——2011 高考数学第 16 题答案解析

【考点】MJ：二面角的平面角及求法．
【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．
【分析】由题意画出正方体的图形，延长 CB 、 FE 交点为 S 连接 AS ，过 B 作 $\mathrm{BP} \perp \mathrm{AS}$连接 $P E$ ，所以面 $A E F$ 与面 $A B C$ 所成的二面角就是：$\angle B P E$ ，求出 $B P$ 与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．

【解答】解：由题意画出图形如图：
因为 $E$ 、 $F$ 分别在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B B_{1} , C C_{1}$ 上，且 $B_{1} E=2 E B, C F=2 F C_{1}$

延长 $C B$ 、 $F E$ 交点为 $S$ 连接 $A S$ ，过 $B$ 作 $B P \perp A S$ 连接 $P E$ ，所以面 $A E F$ 与面 $A B C$ 所成的二

面角就是 $\angle B P E$ ，因为 $B_{1} E=2 E B, C F=2 F C_{1}$ ，
所以 $\mathrm{BE}: ~ C F=1: 2$
所以 $S B: ~ S C=1: 2$ ，
设正方体的棱长为：$a$ ，所以 $A S=\sqrt{2} a, B P=\frac{\sqrt{2}}{2} a, B E=\frac{a}{3}$ ，在RT $\triangle P B E$ 中， $\tan \angle E P$

$$ \mathrm{B}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{~PB}}=\frac{\frac{\mathrm{a}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{a}}=\frac{\sqrt{2}}{3} $$

故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}$

【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力