（5分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．…——2013 高考数学第 14 题答案解析

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角

【专题】5A：平面向量及应用

【分析】设P的坐标为（x，y），根据 $\overrightarrow { A P } = \lambda \overrightarrow { A B } + \mu \overrightarrow { A C }$ ，结合向量的坐标运算解出$\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \lambda = \frac { 2 } { 3 } \mathbf { x } - \frac { 1 } { 3 } \mathbf { y } - 1 } \\ { \displaystyle \mu = \frac { 1 } { 3 } \mathbf { x } + \frac { 2 } { 3 } \mathbf { y } + 1 } \end{array} \right.$ ，再由 $1 { \leqslant } \lambda { \leqslant } 2 , \ 0 { \leqslant } \mu { \leqslant } 1$ 得到关于 x、y 的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF 及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积

【解答】解：设P 的坐标为 $( { \sf x } , { \sf y } )$ ，则
=（2，1）， =（1，2）， $\overrightarrow { A P } = ( x - 1 , y + 1 ) , \because \overrightarrow { A P } = \lambda \overrightarrow { A B } + \mu \overrightarrow { A C } ,$
$\therefore \left\{ \begin{array} { l } { { \tt x - 1 = 2 \lambda + \mu , } } \\ { { \tt y + 1 = \lambda \lambda + 2 \mu , } } \end{array} \right.$ ，解之得 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \lambda = \frac { 2 } { 3 } \mathbf { x } - \frac { 1 } { 3 } \mathbf { y } - 1 } \\ { \displaystyle \mu = \frac { 1 } { 3 } \mathbf { x } + \frac { 2 } { 3 } \mathbf { y } + 1 } \end{array} \right.$
∵1≤λ≤2， $0 { \leqslant } \mu { \leqslant } 1$ ，∴点P坐标满足不等式组 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 { \leqslant } \frac { 2 } { 3 } \displaystyle \mathbf { x } - \frac { 1 } { 3 } \displaystyle y ^ { - 1 } { \leqslant } 2 } \\ { \displaystyle 0 { \leqslant } \frac { 1 } { 3 } \displaystyle \mathbf { x } + \frac { 2 } { 3 } \displaystyle y + 1 { \leqslant } 1 } \end{array} \right.$
作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部
其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）
$\therefore \vert C F \vert = \sqrt { ( 4 - 3 ) ^ { 2 } + ( 2 - 0 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 5 } ,$
点E（5，1）到直线CF： $2 x - y - 6 = 0$ 的距离为 $d = \frac { \vert 2 \times 5 - 1 - 6 \vert } { \sqrt { 5 } } = \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 5 }$
$\therefore$ 平行四边形 CDEF 的面积为 $S = \vert C F \vert \times \mathsf { d } \mathbf { = } \sqrt { 5 } \times \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 5 } = 3$ ，即动点 P 构成的平面区域D 的面积为3
故答案为：3

【点评】本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D 的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题