若 3 sin α - sin β = 1 0 , α +…——2022 高考数学第 13 题答案解析

【解析】

【分析】先通过诱导公式变形，得到a的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出a，接下来再求 $\beta$

【详解】 $\alpha + \beta = \frac { \pi } { 2 } , \therefore \sin \beta = \cos \alpha$ ，即 $3 \sin \alpha - \cos \alpha = { \sqrt { 1 0 } }$

即 ${ \sqrt { 1 0 } } \left( { \frac { 3 { \sqrt { 1 0 } } } { 1 0 } } \sin \alpha - { \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } } \cos \alpha \right) = { \sqrt { 1 0 } }$ $\sin \theta = { \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } }$ $\cos \theta = { \frac { 3 { \sqrt { 1 0 } } } { 1 0 } }$

则 ${ \sqrt { 1 0 } } \sin \left( \alpha - \theta \right) = { \sqrt { 1 0 } }$ ，∴ $\alpha - \theta = { \frac { \pi } { 2 } } + 2 k \pi$ $k \in Z$ ，即 $\alpha = \theta + \frac { \pi } { 2 } + 2 k \pi$

$$ \therefore \sin \alpha = \sin \left(\theta + \frac {\pi}{2} + 2 k \pi\right) = \cos \theta = \frac {3 \sqrt {1 0}}{1 0} $$

则 $\cos 2 \beta = 2 \cos ^ { 2 } \beta - 1 = 2 \sin ^ { 2 } \alpha - 1 = { \frac { 4 } { 5 } }$

故答案为： ${ \frac { 3 { \sqrt { 1 0 } } } { 1 0 } } ; { \frac { 4 } { 5 } }$