已知函数 1 ln 1f x ax x x=…——2024 高考数学第 26 题答案解析

【答案】 （1）极小值为0，无极大值.

（2） 12a£ -
【解析】
【分析】 （1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就 12a£ -、 102a- < <、 0a³分类讨论后可得参数的取值范围.
【小问 1 详解】
当 2a= -时， (1 2 ) ln(1 )f x x x x= + + -，
故 1 2 1 2ln(1 ) 1 2ln(1 ) 11 1xf x x xx x+¢= + + - = + - ++ +
，
因为 12ln(1 ), 11y x yx= + = - ++
在1,¥- +上为增函数，
故 f x¢在1,¥- +上为增函数，而 (0) 0f¢=，
故当 10x-<<时， 0f x¢<，当 0x>时， 0f x¢>，
故 f x在 $0x=$处取极小值且极小值 $0 0f=$，无极大值.
【小问 2 详解】
$11ln 1 1 ln 1 , 01 1a xaxf x a x a x xx x+-= - +$¢+ - = - + - >+ +
，
设 $1ln 1 , 01a xs x a x xx+= - + - >+$
，
则 $2 2 21 1 12 111 1 1a a x aa ax as xxx x x+ + + +- + += - = - = -++ +$¢ +
，
当 12a£ -时， 0s x¢>，故 s x在0,¥+上为增函数，
故 $0 0s x s> =$，即 0f x¢>，
所以 f x在0,¥+上为增函数，故 0 0f x f³ =.
当 102a- < <时，当 2 10axa+< < -时， 0s x¢<，
故 s x在 2 10,aa+æ ö-ç ÷è ø
上为减函数，故在 2 10,aa+æ ö-ç ÷è ø
上 0s x s<，
为

即在 2 10,aa+æ ö-ç ÷è ø
上 0f x¢<即 f x为减函数，
故 2 10,aa+æ ö-ç ÷è ø
上 $0 0f x f< =$，不合题意，舍.
当 0a³，此时 0s x¢<在0,¥+上恒成立，
同理可得在0,¥+上 $0 0f x f< =$恒成立，不合题意，舍；
综上， 12a£ -.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导
数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.