2015_退役省自主命题 (2015·文)
15、已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}, n= \frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．
其中真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．
【答案】①④
【解析】对于①，因为 $f^{\prime}(x)=2^{x} \ln 2>0$ 恒成立，故①正确
对于②，取 $a=-8$，即 $g^{\prime}(x)=2 x-8$，当 $x_{1}, x_{2}<4$ 时 $n<0$，（2）错误
对于③，令 $f^{\prime}(x)=g(x)$，即 $2^{x} \ln 2=2 x+a$
记 $h(x)=2^{x} \ln 2-2 x$，则 $h^{\prime}(x)=2^{x}(\ln 2)^{2}-2$
存在 $x_{0} \in(0,1)$，使得 $h\left(x_{0}\right)=0$，可知函数 $h(x)$ 先减后增，有最小值。
因此，对任意的 $a, m=n$ 不一定成立（3）错误
对于④，由 $f^{\prime}(x)=-g^{\prime}(x)$，即 $2^{x} \ln 2=-2 x-a$
令 $h(x)=2^{x} \ln 2+2 x$，则 $h(x)=2^{x}(\ln 2)^{2}+2>0$ 恒成立，
即 $h(x)$ 是单调谜增函数，
当 $x \rightarrow+\infty$ 时，$h(x) \rightarrow+\infty$
当 $x \rightarrow-\infty$ 时，$h(x) \rightarrow-\infty$
## 因此对任意的 $a$，存在 $y=a$ 与函数 $h(x)$ 有交点（4）正确
【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力。
【名师点睛】本题首先要正确 认识 $m, n$ 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意＂任意不相等的实数 $x_{1}$，$x_{2}$＂与切线斜率的关系与差别，以及＂都有＂与＂存在＂的区别，避免过失性失误。属于较难题。