（10）已知椭圆 2 22 2: 1( 0)x yC a…——2012 高考数学第 10 题答案解析

【解答】
（5分）（2012•山东）已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的离心率为 ，与双曲线x
2﹣$y2=1$的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程
为（　　）
　A．
+
=1
B．
+
=1
C．
+
=1
D．
+
=1
考点
：
圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题
：
圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析
：
由题意，双曲线x2﹣$y2=1$的渐近线方程为$y=$±x，根据以这四个交点为顶点的四边形
的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：
+
=1．利用
，即可求得椭圆方程．
解答
：
解：由题意，双曲线x2﹣$y2=1$的渐近线方程为$y=$±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）上
∴
又∵
∴
∴$a2=4b2$
∴$a2=20$，$b2=5$
∴椭圆方程为：
+
=1
故选D．
点评
：
本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关
键．