【考点】F4：进行简单的合情推理；F5：演绎推理．
【专题】16：压轴题；23：新定义；5M：推理和证明．
【分析】（1）根据 $r_{i}(A), C_{j}(A)$ ，定义求出 $r_{1}(A), r_{2}(A), c_{1}(A), c_{2}(A)$ ， $c_{3}(A)$ ，再根据 $K(A)$ 为 $\left|r_{1}(A)\right|,\left|R_{2}(A)\right|,\left|R_{3}(A)\right|,\left|C_{1}(A)\right|$ ， $\left|\mathrm{C}_{2}(\mathrm{~A})\right|,\left|\mathrm{C}_{3}(\mathrm{~A})\right|$ 中的最小值，即可求出所求。
（2）先用反证法证明 $k(A) \leqslant 1$ ，然后证明 $k(A)=1$ 存在即可；
（3）首先构造满足 $k(A)=\frac{2 t+1}{t+2}$ 的 $A=\left\{a_{i, j}\right\} \quad(i=1,2, j=1,2, \ldots, 2 t+1)$ ，然后证明 $\frac{2 t+1}{t+2}$ 是最大值即可．
【解答】解：（1）由题意可知 $r_{1}(A)=1.2, r_{2}(A)=-1.2, c_{1}(A)=1.1, c_{2} (A)=0.7, c_{3}(A)=-1.8$
$\therefore K(A)=0.7$
（2）先用反证法证明 $k(A) \leqslant 1$ ：
若 $k(A)>1$
则 $\mid c_{1}$（A）$|=|a+1|=a+1>1, \quad \therefore a>0$
同理可知 $b>0, \quad \therefore a+b>0$
由题目所有数和为 0
即 $a+b+c=-1$
$\therefore \mathrm{c}=-1-\mathrm{a}-\mathrm{b}<-1$
与题目条件矛盾
$\therefore k(A) \leqslant 1$ ．
易知当 $a=b=0$ 时，$k(A)=1$ 存在
$\therefore k$（A）的最大值为 1
③$k$（A）的最大值为 $\frac{2 t+1}{t+2}$ ．
首先构造满足 $k(A)=\frac{2 t+1}{t+2}$ 的 $A=\left\{a_{i, j}\right\}(i=1,2, j=1,2, \ldots, 2 t+1)$ ：
$a_{1,1}=a_{1,2}=\ldots=a_{1, t}=1$,
$a_{1, t+1}=a_{1, t+2}=\ldots=a_{1,2 t+1}=-\frac{t-1}{t+2}$,
$a_{2,1}=a_{2,2}=\ldots=a_{2, t}=\frac{t^{2}+t+1}{t(t+2)}$ ，
$a_{2, t+1}=a_{2, t+2}=\ldots=a_{2,2 t+1}=-1$.
经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于 1，所有元素之和为 0 ，
且 $\mid r_{1}$（A）$|=| r_{2}$（A） $\left\lvert\,=\frac{2 t+1}{t+2}\right.$ ，
$\mid c_{1}$（A）$|=| c_{2}$（A）$|=\ldots=| c_{t}$（A） $\left\lvert\,=1+\frac{t^{2}+t+1}{t(t+2)}>1+\frac{t+1}{t+2}>\frac{2 t+1}{t+2}\right.$,
$\mid c_{t+1}$（A）$|=| c_{t+2}$（A）$|=\ldots=| c_{2 t+1}$（A） $\left\lvert\,=1+\frac{t-1}{t+2}=\frac{2 t+1}{t+2}\right.$ ．
下面证明 $\frac{2 t+1}{t+2}$ 是最大值．若不然，则存在一个数表 $A \in S(2,2 t+1)$ ，使得 $k(A) =x>\frac{2 t+1}{t+2}$.
由 $k$（A）的定义知 $A$ 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 $x$ ，而两个绝对值不超过 1 的数的和，其绝对值不超过 2 ，故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 $[x, 2]$ 中．由于 $x>1$ ，故 $A$ 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 $\mathrm{x}-1$ 。
设 A 中有 g 列的列和为正，有 h 列的列和为负，由对称性不妨设 $\mathrm{g}<\mathrm{h}$ ，则 $\mathrm{g} \leqslant \mathrm{t}$ ， $h \geqslant t+1$ ．另外，由对称性不妨设 $A$ 的第一行行和为正，第二行行和为负．
考虑 A 的第一行，由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 $\mathrm{t}+1$ 个负数，每个正数的绝对值不超过 1 （即每个正数均不超过 1 ），每个负数的绝对值不小于 $x-1$（即每个负数均不超过 $1-x$ ）．因此 $\left|r_{1}(A)\right|=r_{1}(A) \leqslant t \bullet 1+ (\mathrm{t}+1)(1-\mathrm{x})=2 \mathrm{t}+1-(\mathrm{t}+1) \mathrm{x}=\mathrm{x}+(2 \mathrm{t}+1-(\mathrm{t}+2) \mathrm{x})<\mathrm{x}$,
故 $A$ 的第一行行和的绝对值小于 $x$ ，与假设矛盾。因此 $k$（A）的最大值为 $\frac{2 t+1}{t+2}$ ．
【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和反证法的应
用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．