2013_新课标I卷
10．（5分）已知椭圆E： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A $\frac { x ^ { 2 } } { 4 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 6 } = 1$ B $\frac { { \bf x } ^ { 2 } } { 3 6 } + \frac { { \bf y } ^ { 2 } } { 2 7 } = 1$ C $\frac { x ^ { 2 } } { 2 7 } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 8 } = 1$ D $\frac { x ^ { 2 } } { 1 8 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K3：椭圆的标准方程
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设 $\mathsf { A } ( \mathsf { x } _ { 1 } , \mathsf { y } _ { 1 } ) , \mathsf { B } ( \mathsf { x } _ { 2 } , \mathsf { y } _ { 2 } )$ ，代入椭圆方程得 $\left\{ \begin{array} { l l } { \underline { { \mathbf { x } } } _ { 1 } ^ { 2 } + \underline { { \mathbf { y } } } _ { 1 } ^ { 2 } = 1 } \\ { \bar { \mathbf { a } } ^ { 2 } + \underline { { \mathbf { y } } } ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$ ，利用“点差法”可得 $\frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } } { \mathsf { a } ^ { 2 } } + \frac { \mathbf { y } _ { 1 } - \mathbf { y } _ { 2 } } { \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { 2 } } \bullet \frac { \mathbf { y } _ { 1 } + \mathbf { y } _ { 2 } } { \mathsf { b } ^ { 2 } } = 0$ ．利用中点坐标公式可得 $\cdot x _ { 1 } + x _ { 2 } { = } 2 , ~ y _ { 1 } + y _ { 2 }$ $= - 2$ ，利用斜率计算公式可得 $\mathrm { k _ { A B } } = { \frac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } } = { \frac { - 1 - 0 } { 1 - 3 } } = { \frac { 1 } { 2 } }$ ．于是得到$\frac { 2 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { - 2 } { b ^ { 2 } } = 0$ ，化为 $\mathtt { a } ^ { 2 } = 2 \mathtt { b } ^ { 2 }$ ，再利用 $\mathsf { c } = 3 = \sqrt { \mathsf { a } ^ { 2 } - \mathsf { b } ^ { 2 } } ;$ ，即可解得 $\mathsf { a } ^ { 2 } , \mathsf { b } ^ { 2 }$ ．进而得到椭圆的方程
【解答】解：设A $( { \sf x } _ { 1 } , { \sf y } _ { 1 } ) , { \sf B } ( { \sf x } _ { 2 } , { \sf y } _ { 2 } )$
代入椭圆方程得 $\left\{ \begin{array} { l l } { \underline { { \mathbf { x } } } _ { 1 } ^ { 2 } + \underline { { \mathbf { y } } } _ { 1 } ^ { 2 } = 1 } \\ { \bar { \mathbf { a } } ^ { 2 } + \underline { { \mathbf { y } } } ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$
相减得 $\frac { \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } - \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } } { \mathsf { a } ^ { 2 } } + \frac { \mathbf { y } _ { 1 } ^ { 2 } - \mathbf { y } _ { 2 } ^ { 2 } } { \mathsf { b } ^ { 2 } } = 0 ,$
$\therefore \frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } } { \mathbf { a } ^ { 2 } } + \frac { \mathbf { y } _ { 1 } - \mathbf { y } _ { 2 } } { \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { 2 } } \bullet \frac { \mathbf { y } _ { 1 } + \mathbf { y } _ { 2 } } { \mathbf { b } ^ { 2 } } = 0 .$
$\because x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2$ $y _ { 1 } + y _ { 2 } = - 2$ $\mathrm { k } _ { \mathtt { A B } } = \frac { \mathtt { y } _ { 1 } - \mathtt { y } _ { 2 } } { \mathtt { x } _ { 1 } - \mathtt { x } _ { 2 } } = \frac { - 1 - 0 } { 1 - 3 } = \frac { 1 } { 2 } ,$
$$ \therefore \frac { 2 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { - 2 } { b ^ { 2 } } = 0 , $$
化为 $\mathtt { a } ^ { 2 } = 2 \mathtt { b } ^ { 2 }$ ，又 $\mathsf { c } = 3 = \sqrt { \mathsf { a } ^ { 2 } - \mathsf { b } ^ { 2 } }$ ，解得 $\scriptstyle \mathtt { a } ^ { 2 } = 1 8 , \mathtt { b } ^ { 2 } = 9$
∴椭圆E的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 1 8 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$
故选：D
【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键