7．（5分）（2011•陕西）设集合 $M=\left\{y\left|y=\left|\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right|, x \in R\right\}, ~ N=\left\{\left.x \| x-\frac{1}{i} \right\rvert\,<\sqrt{2}\right.\right.$ ，i为虚数单位，$x \in R\}$ ，则 $M \cap N$ 为（ ）
（5分）（2011•陕西）设集合 M= y |y= |co…——2011 高考数学第 7 题答案解析
2011_退役省自主命题 (2011·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】交集及其运算；绝对值不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】通过三角函数的二倍角公式化简集合 M ，利用三角函数的有界性求出集合 M ；利用复数的模的公式化简集合 $N$ ；利用集合的交集的定义求出交集。
【解答】解：$\because \mathrm{M}=\left\{\mathrm{y}\left|\mathrm{y}=\left|\cos ^{2} \mathrm{x}-\sin ^{2} \mathrm{x}\right|\right\}=\{\mathrm{y}|\mathrm{y}=|\cos 2 \mathrm{x}|\}=\{\mathrm{y} \mid 0 \leq \mathrm{y} \leq 1\}\right.$
$\mathrm{N}=\{\mathrm{x}| | \mathrm{x}+\mathrm{i} \mid<\sqrt{2}\}=\left\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}^{2}+1<2\right\}=\{\mathrm{x} \mid-1<\mathrm{x}<1\}$
$\therefore \mathrm{M} \cap \mathrm{N}=\{\mathrm{x} \mid 0 \leq \mathrm{x}<1\}$
故选C
【点评】本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交集的定义。
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