2024_全国甲卷
19. 如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $ABCD$ 与四边形 $ADEF$ 均为等腰梯形， $BC \parallel AD, EF \parallel AD, AD = 4, AB = BC = EF = 2, ED = \sqrt{10}, FB = 2\sqrt{3}, M$ 为 $AD$ 的中点.
（1）证明： $BM \parallel$ 平面 CDE；
(2) 求二面角 F-BM-E 的正弦值.
(1) 证明见详解； >; (2) $\frac{4\sqrt{3}}{13}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）证明见详解；
> ② $\frac{4\sqrt{3}}{13}$
【解析】
【分析】（1）结合已知易证四边形 BCDM 为平行四边形，可证 $BM \parallel CD$ ，进而得证；
（2）作 $BO \perp AD$ 交 $AD$ 于 $O$ ，连接 $OF$ ，易证 $OB, OD, OF$ 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.
【小问 1 详解】
因为 $BC \parallel AD, EF = 2, AD = 4, M$ 为 AD 的中点，所以 $BC \parallel MD, BC = MD$ ，
四边形 BCDM 为平行四边形，所以 $BM \parallel CD$ ，又因为 $BM \not\subset$ 平面 CDE，
$CD \subset$ 平面 CDE，所以 $BM \parallel$ 平面 CDE；
【小问 2 详解】
如图所示，作 $BO \perp AD$ 交 AD 于 O，连接 OF，
因为四边形 ABCD 为等腰梯形， $BC \parallel AD, AD = 4, AB = BC = 2$ ，所以 CD = 2，
结合①BCDM 为平行四边形，可得 BM = CD = 2，又 AM = 2，
所以 $\triangle ABM$ 为等边三角形，O 为 AM 中点，所以 $OB = \sqrt{3}$ ，
又因为四边形 ADEF 为等腰梯形，M 为 AD 中点，所以 EF = MD, EF // MD，
四边形 EFMD 为平行四边形，FM = ED = AF，
所以 $\triangle AFM$ 为等腰三角形， $\triangle ABM$ 与 $\triangle AFM$ 底边上中点 O 重合， $OF \perp AM$ ， $OF = \sqrt{AF^{2} - AO^{2}} = 3$ ，
因为 $OB^{2} + OF^{2} = BF^{2}$ ，所以 $OB \perp OF$ ，所以 OB, OD, OF 互相垂直，
以 $OB$ 方向为 $x$ 轴， $OD$ 方向为 $y$ 轴， $OF$ 方向为 $z$ 轴，建立 $O - xyz$ 空间直角坐标系，
$F(0,0,3), B(\sqrt{3},0,0), M(0,1,0), E(0,2,3), \overrightarrow{BM} = (-\sqrt{3},1,0), \overrightarrow{BF} = (-\sqrt{3},0,3),$
$\overrightarrow{BE} = \left(-\sqrt{3}, 2, 3\right)$ ，设平面 $BFM$ 的法向量为 $\vec{m} = \left(x_1, y_1, z_1\right)$ ，
平面 EMB 的法向量为 $\vec{n}=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ ,
则 $\left\{ \begin{array}{l} \vec{m} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{BF} = 0 \end{array} \right.$ ，即 $\left\{ \begin{array}{l} -\sqrt{3} x_1 + y_1 = 0 \\ -\sqrt{3} x_1 + 3z_1 = 0 \end{array} \right.$ ，令 $x_1 = \sqrt{3}$ ，得 $y_1 = 3, z_1 = 1$ ，即 $\vec{m} = (\sqrt{3}, 3, 1)$ ，
则 $\left\{ \begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{BE} = 0 \end{array} \right.$ ，即 $\left\{ \begin{array}{l} -\sqrt{3} x_2 + y_2 = 0 \\ -\sqrt{3} x_2 + 2y_2 + 3z_2 = 0 \end{array} \right.$ ，令 $x_2 = \sqrt{3}$ ，得 $y_2 = 3, z_2 = -1$ ，
即 $\vec{n}=\left(\sqrt{3},3,-1\right)$ ， $\cos\vec{m},\vec{n}=\frac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{m}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}=\frac{11}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\frac{11}{13}$ ，则 $\sin\vec{m},\vec{n}=\frac{4\sqrt{3}}{13}$ ，
故二面角 F-BM-E 的正弦值为 $\frac{4\sqrt{3}}{13}$ .
