（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6…_2015上海高考数学第20题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

20、（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分如图， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三地有直道相通， $\mathrm{AB}=5$ 千米， $\mathrm{AC}=3$ 千米， $\mathrm{BC}=4$ 千米．现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f(t)$（单位：千米）．甲的路线是 AB ，速度为 5 千米／小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米／小时．乙到达 B 地后原地等待。设 $t=t_{1}$ 时乙到达 C 地。。

（1）求 $t_{1}$ 与 $f\left(t_{1}\right)$ 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米．当 $t_{1} \leq t \leq 1$ 时，求 $f(t)$ 的表达式，并判断 $f(t)$ 在 $\left[t_{1}, 1\right]$ 上得最大值是否超过 3 ？说明理由．

Accepted Answer

(1) $t_{1}=\frac{3}{8}, f\left(t_{1}ight)=\frac{3}{8} \sqrt{41}$; (2) $f(t)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{25 t^{2}-42 t+18}, \frac{3}{8} \leq t \leq \frac{7}{8} \ 5-5 t, \frac{7}{8}<t \leq 1\end{array}ight.$ ，不超过 3

【答案】①$t_{1}=\frac{3}{8}, f\left(t_{1}ight)=\frac{3}{8} \sqrt{41}$②$f(t)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{25 t^{2}-42 t+18}, \frac{3}{8} \leq t \leq \frac{7}{8} \ 5-5 t, \frac{7}{8}<t \leq 1\end{array}ight.$ ，不超过 3. 【解析】解：（1）$t_{1}=\frac{3}{8}$ ． 记乙到 C 时甲所在地为 D ，则 $\mathrm{AD}=\frac{15}{8}$ 千米． 在 $	riangle \mathrm{ACD}$ 中， $\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AD}^{2}-2 \mathrm{AC} \cdot \mathrm{AD} \cos \mathrm{A}$ ， 所以 $f\left(t_{1}ight)=\mathrm{CD}=\frac{3}{8} \sqrt{41}$（千米）． （2）甲到达 B 用时 1 小时；乙到达 C 用时 $\frac{3}{8}$ 小时，从 A 到 B 总用时 $\frac{7}{8}$ 小时。 当 $t_{1}=\frac{3}{8} \leq t \leq \frac{7}{8}$ 时， $f(t)=\sqrt{(7-8 t)^{2}+(5-5 t)^{2}-2(7-8 t)(5-5 t) \cdot \frac{4}{5}}=\sqrt{25 t^{2}-42 t+18} ;$ 当 $\frac{7}{8} \leq t \leq 1$ 时，$f(t)=5-5 t$ ． 所以 $f(t)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{25 t^{2}-42 t+18}, \frac{3}{8} \leq t \leq \frac{7}{8} \ 5-5 t, \frac{7}{8}<t \leq 1\end{array}ight.$ ． 因为 $f(t)$ 在 $\left[\frac{3}{8}, \frac{7}{8}ight]$ 上的最大值是 $f\left(\frac{3}{8}ight)=\frac{3 \sqrt{41}}{8}, f(t)$ 在 $\left[\frac{7}{8}, 1ight]$ 上的最大值是 $f\left(\frac{7}{8}ight)=\frac{5}{8}$ ，所以 $f(t)$ 在 $\left[\frac{3}{8}, 1ight]$ 上的最大值是 $\frac{3 \sqrt{41}}{8}$ ，不超过 3 ． 【考点定位】余弦定理

（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6…——2015 高考数学第 20 题答案解析

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